6. Общие замечания и выводы

О непротиворечивости системы аксиом мы заключаем здесь из факта ее социально признанной стабильности. Хотя этот критерий имеет качественный характер и представляется в некоторой степени субъективным, в действительности, он обладает предельной общезначимостью и объективностью. Представление о стабильной аксиоматике является определенным для математического сообщества ничуть не в меньшей степени, чем представление об аподиктически очевидной аксиоматике или о законченности конкретного математического доказательства. Мы не сомневаемся в стабильности аксиом арифметики, геометрии, топологии, теории вероятностей и других математических теорий, несомненно достигших состояния зрелости.

Эмпирицисты правы, указывая на то обстоятельство, что в общем случае математическая теория не редуцируется к самоочевидной системе аксиом и не обосновывается на основе аподиктической очевидности принципов. Мы выяснили, однако, что она всегда редуцируется к завершенной системе аксиом, удовлетворяющей требованию факгуальной истинности и непротиворечивости. Системное рассмотрение дает основание утверждать, что любая математическая теория, независимо от особенностей ее содержания или логического строения (простоты — сложности и т. п.), в конечное время выделяет адекватную систему аксиом, обладающую свойством непротиворечивости.

С этой точки зрения, абсолютная непротиворечивость аксиом — не некий исключительный факт, присущий только системам, достигшим уровня формализации, а нормальное состояние любой содержательной аксиоматической системы, признанной в качестве адекватной в процессе ее использования.

Системный анализ позволяет нам говорить непротиворечивости математических теорий, в принципе недоступных для логического обоснования. Мы должны опираться здесь на качественные признаки непротиворечивости, неприемлемые для логического анализа. Хотя здесь возникают вопросы, связанные с надежностью, достаточно очевидно, что проблема обоснования математики, поставленная как проблема надежности математического мышления, не может быть решена без обращения к такого рода внелогическим критериям.

Фаллибилистская идея неустранимой нестрогости оснований содержательной математической теории проистекает из некритического отождествления математической теории с теорией эмпирической и из абстрактности логического подхода к этой проблеме. Поскольку не существует возможности очертить в логических терминах область теории, в которой противоречие, заложенное в аксиомах, должно обнаружить себя в явном виде, эта область предполагается неопределенной и, в принципе, как угодно обширной. Системное рассмотрение устраняет эту неопределенность. Оно показывает, что идея глубоко скрытой противоречивости не применима к реальному развитию математической теории и что содержательные математические теории, достигшие аксиоматически стабильного состояния, должны быть признаны абсолютно свободными от противоречий. История математики отвергает эмпирицистский скептицизм, ибо мы не знаем случаев, когда бы безусловно признанная математическим сообществом система аксиом была затем отвергнута на основе противоречий, обнаружившихся в ее удаленных следствиях. Из системного рассмотрения следует, что такая возможность исключена в принципе.

Главная ценность критерия стабильности состоит в его универсальности. Если приведенные соображения верны, то мы можем говорить о непротиворечивости любой системы аксиом, признанной в качестве стабильной, независимо от степени ее самоочевидности или обоснованности посредством логических методов. С этой точки зрения мы можем говорить о непротиворечивости аксиом теории множеств ничуть не с меньшим правом, чем о непротиворечивости арифметики, ибо стабильность этой аксиоматики (это относится по крайней мере, к таким системам как ZF), в полной мере подтверждена математической практикой.