3. Перспективы надежного обоснования

Это значит, что вторая проблема Гильберта, сформулированная как вопрос о возможности строгого обоснования непротиворечивости арифметики, должна считаться в настоящее время несомненно разрешенной в положительном смысле. Специфика этой проблемы состоит в том, что ее полное решение не является чисто математическим, а неизбежно связано с выходом в теорию познания. Колебания, имеющие здесь место до сих пор, объясняются прежде всего указанной двойственностью ее статуса: в чисто логическом плане, без привлечения гносеологической аргументации, оправдывающей возможность использования трансфинитных аксиом, эта проблема не может быть решена.

Большинство современных логиков, ориентируясь на теорему Гёделя о непротиворечивости, все еще придерживаются мнения, что непротиворечивость арифметики представляет собой факт, обоснованный практикой, но не имеющий математического обоснования, соответствующего стандартам полной строгости. А.Н. Колмогоров и А.Г. Драгалин в своем учебнике по математической логике высказывают мнение, что непротиворечивость арифметики «можно считать твердо обоснованной»72. Слова «можно считать» выдают некоторое колебание, которое, несомненно, также связано с признанными запретами на финитное обоснование. Принятие критериев обосновательного рассуждения, основанных на понятии онтологической истинности, устраняет здесь всякую неопределенность.

Обоснование непротиворечивости арифметики указывает путь к обоснованию арифметики действительных чисел и математического анализа в тех пределах, в которых он может быть построен на арифметике действительных чисел. Обоснование операций с действительными числами, разработанное Р. Дедекиндом, основывается на аксиоме непрерывности, которая фиксирует в себе интуитивное представление о прямой линии как непрерывной протяженности7251. Преследуя цель полной арифметизации, Д. Гильберт заменил эту аксиому двумя аксиомами: аксиомой Архимеда и аксиомой Полноты, которые могут быть истолкованы в качестве чисто арифметических, не связанных с геометрической наглядностью. Для онтологического обоснования анализа более приемлем подход Дедекинда, поскольку аксиома непрерывности может быть обоснована как онтологически истинное утверждение, относящееся к общему представлению о величине. Понимание категориальной основы этой аксиомы дает расширение обосновательного слоя, достаточное для полного обоснования анализа.

Важным продвижением в этом направлении является сведение основного содержания анализа к аксиоматике геометрии прямой. Традиционное обосновательное мышление отвергает апелляцию к геометрии как не обеспечивающей полной строгости рассуждения. Мы видели негативное отношение к такому способу обоснования у Больцано, Фреге, Вейля и Брауэра. С онтологической точки зрения — это методологический предрассудок, проистекающий из отожествления геометрической очевидности с очевидностью эмпирической. Адекватная теория онтологической истинности ставит геометрическую очевидность рядом с арифметической и логической и устраняет все сомнения в корректности математического анализа в той его части, в которой он может быть сведен к аподиктической очевидности геометрических образов.

Таким образом, мы можем заключить, что минимальная задача обосновательной программы, заключающаяся, по Бернайсу, в обосновании математического анализа, несомненно, реализуется онтологическим подходом. Математический анализ, хотя он радикально отличается от арифметики как имеющий дело с объектами, обладающими непрерывностью, в действительности, в своих посылках не выходит за сферу онтологической истинности, таким 'образом, относится к области математики, имеющей полное и абсолютное обоснование73.

Понятие онтологической истинности позволяет нам также наметить ряд подходов к разрешению вопроса о непротиворечивости теории множеств. Анализ логицистских систем, как мы видели, уже указывает подход, в определенном смысле разрешающий проблему. Та же цель достигается и в интуиционистском анализе, расширенном за счет принципа трансфинитной индукции. Если мы можем подойти к абсолютному обоснованию анализа, то современные логические исследования позволяют сделать вывод об абсолютной непротиворечивости всех наиболее существенных разделов теории множеств. Проблемными теориями остаются в этом случае только «богатые» теории множеств, которые являются мало существенными для математики с точки зрения ее функции. Если изложенная здесь теория онтологической истинности принципов математики является истинной, то современная математика должна быть признана в качестве абсолютно обоснованной. Неопределенность в этом вопросе, существующая до сих nbp в умах математиков и философов, проистекает исключительно из неразвитости философии математики и должна быть устранена прогрессом в этой области знания.

Особое место теории множеств в плане логического обоснования, ее сложность в этом отношении, еще требует прояснения. Простота системы отношений, на которых она сформулирована, как кажется, противоречит этому факту. Одно из обстоятельств, определяющих этот факт, заключается, по-видимому, в особенностях ее интуитивной основы. Рассматривая систему аксиом ZF, мы видим, что она содержит в себе положения, которые нельзя отнести ни к сфере логических, ни к сфере онтологических истин.

Здесь будет полезна аналогия с логикой обоснования неевклидовой геометрии у Лобачевского. Как известно, Лобачевский исходил из телесной интерпретации аксиом евклидовой геометрии, основанной на представлении тела, сечения тела и соприкосновения тел. Проблема обоснования аксиомы параллельности была поставлена первоначально в рамках этой интерпретации. Поскольку аксиома параллельности оказалась единственной из аксиом, не выводимой на основе этой интерпретации, то она могла быть понята как произвольная и допускающая замену. С онтологической точки зрения в теории ZF такого рода произвольной посылкой, заведомо выступающей за рамки онтологической интерпретации, является аксиома фундированности, и с этой точки зрения проблема непротиворечивости теории ZF могла бы состоять в логическом обосновании совместности этой аксиомы с остальными аксиомами этой теории. Понятно, что такой подход опирается на предположение, что остальные аксиомы системы удовлетворяют требованию логической или онтологической истинности.

Другая линия обоснования намечается в рамках так называемой итеративной концепции, которая представляет собой содержательную интерпретацию аксиом теории множеств, опирающуюся на представление о построении иерархии множеств. Генетическое представление о множествах, которое связывает их в единую конструктивно развертывающуюся систему, продуктивно в том отношении, что оно позволяет уточнить содержательный смысл аксиом, а также понять осмысленность ограничений, накладываемых на понятие множества в процессе построения теории. Если мы принимаем в качестве принципа построения, что элементы множества существуют до множества, то, разумеется, невозможно множество всех множеств и невозможно появление множеств, имеющих себя в качестве своих элементов. Это значит, что теория множеств, аксиомы которой согласованы с итеративной моделью, заведомо не содержит парадоксов Кантора и Рассела. Аксиома фундированности с этой точки зрения предстает в качестве определения множества как объекта, состоящего в конечном итоге из элементов (праэлементов), не являющихся множествами. Как показывает анализ, мы можем подойти с этой точки зрения к обоснованию истинности всех аксиом, содержащихся в таких системах как Z, ZF и ZFC74.

Слабость итеративной концепции состоит в том, что она не свободна от предпосылок эмпирической теории познания и, по этой причине, не может поставить собственно обосновательной задачи. Проясняя эвристические возможности итеративной концепции множеств, Хао Ван говорит вместе с тем, что интуитивная основа аксиом может изменяться исторически и что любая интерпретация не является точной75. Ясно, что такая методологическая установка лишает смысла идею абсолютного обоснования теории на основе ее модели. Положение, однако, меняется, если мы покажем, что в основе этой модели лежат представления об идеальных предметах и их совокупностях. В этом случае мысленные операции получают характер экспликации онтологически необходимых, а следовательно, и абсолютно непротиворечивых представлений. Итеративная схема в той мере, в которой она может быть признана как относящаяся к сфере аподиктической очевидности, должна пониматься в качестве первичной и абсолютно обосновательной базы теории множеств. Задача, таким образом, состоит в соединении итеративного прояснения аксиом теории множеств с понятием онтологической истинности.

Анализ методологии обоснования позволяет считать в высшей мере вероятным допущение, что все основные теории современной математики, включая и теорию множеств, могут быть обоснованы в своей непротиворечивости в рамках некоторой рациональной программы логико-онтологического обоснования математики. Арифметика и теория множеств могут быть поняты как теории, эксплицирующие в своих идеализациях основные представления предметной онтологии и, следовательно, как формальные конструкции, обладающие предельной степенью логической надежности. Признание этих двух теорий в качестве онтологически истинных решает вопрос об абсолютном обосновании всей современной математики.