<<
>>

3. Перспективы надежного обоснования

Последовательное проведение онтологической программы позволяет утверждать абсолютную непротиворечивость элементарной математики, т. е. арифметики и евклидовой геометрии. Непротиворечивость арифметики в соответствии с изложенным здесь подходом может быть обоснована различными путями.
Она непосредственно следует из факта аподиктической очевидности ее аксиом, доказывается возможностью ее логицистского и интуиционистского представления, она может быть обоснована в формалистской программе посредством генценовского (или подобного ему) доказательства непротиворечивости. В соответствии с теорией онтологической истинности каждый из этих подходов дает абсолютное обоснование непротиворечивости арифметики.

Это значит, что вторая проблема Гильберта, сформулированная как вопрос о возможности строгого обоснования непротиворечивости арифметики, должна считаться в настоящее время несомненно разрешенной в положительном смысле. Специфика этой проблемы состоит в том, что ее полное решение не является чисто математическим, а неизбежно связано с выходом в теорию познания. Колебания, имеющие здесь место до сих пор, объясняются прежде всего указанной двойственностью ее статуса: в чисто логическом плане, без привлечения гносеологической аргументации, оправдывающей возможность использования трансфинитных аксиом, эта проблема не может быть решена.

Большинство современных логиков, ориентируясь на теорему Гёделя о непротиворечивости, все еще придерживаются мнения, что непротиворечивость арифметики представляет собой факт, обоснованный практикой, но не имеющий математического обоснования, соответствующего стандартам полной строгости. А.Н. Колмогоров и А.Г. Драгалин в своем учебнике по математической логике высказывают мнение, что непротиворечивость арифметики «можно считать твердо обоснованной»72. Слова «можно считать» выдают некоторое колебание, которое, несомненно, также связано с признанными запретами на финитное обоснование.

Принятие критериев обосновательного рассуждения, основанных на понятии онтологической истинности, устраняет здесь всякую неопределенность.

Обоснование непротиворечивости арифметики указывает путь к обоснованию арифметики действительных чисел и математического анализа в тех пределах, в которых он может быть построен на арифметике действительных чисел. Обоснование операций с действительными числами, разработанное Р. Дедекиндом, основывается на аксиоме непрерывности, которая фиксирует в себе интуитивное представление о прямой линии как непрерывной протяженности7251. Преследуя цель полной арифметизации, Д. Гильберт заменил эту аксиому двумя аксиомами: аксиомой Архимеда и аксиомой Полноты, которые могут быть истолкованы в качестве чисто арифметических, не связанных с геометрической наглядностью. Для онтологического обоснования анализа более приемлем подход Дедекинда, поскольку аксиома непрерывности может быть обоснована как онтологически истинное утверждение, относящееся к общему представлению о величине. Понимание категориальной основы этой аксиомы дает расширение обосновательного слоя, достаточное для полного обоснования анализа.

Важным продвижением в этом направлении является сведение основного содержания анализа к аксиоматике геометрии прямой. Традиционное обосновательное мышление отвергает апелляцию к геометрии как не обеспечивающей полной строгости рассуждения. Мы видели негативное отношение к такому способу обоснования у Больцано, Фреге, Вейля и Брауэра. С онтологической точки зрения — это методологический предрассудок, проистекающий из отожествления геометрической очевидности с очевидностью эмпирической. Адекватная теория онтологической истинности ставит геометрическую очевидность рядом с арифметической и логической и устраняет все сомнения в корректности математического анализа в той его части, в которой он может быть сведен к аподиктической очевидности геометрических образов.

Таким образом, мы можем заключить, что минимальная задача обосновательной программы, заключающаяся, по Бернайсу, в обосновании математического анализа, несомненно, реализуется онтологическим подходом.

Математический анализ, хотя он радикально отличается от арифметики как имеющий дело с объектами, обладающими непрерывностью, в действительности, в своих посылках не выходит за сферу онтологической истинности, таким 'образом, относится к области математики, имеющей полное и абсолютное обоснование73.

Понятие онтологической истинности позволяет нам также наметить ряд подходов к разрешению вопроса о непротиворечивости теории множеств. Анализ логицистских систем, как мы видели, уже указывает подход, в определенном смысле разрешающий проблему. Та же цель достигается и в интуиционистском анализе, расширенном за счет принципа трансфинитной индукции. Если мы можем подойти к абсолютному обоснованию анализа, то современные логические исследования позволяют сделать вывод об абсолютной непротиворечивости всех наиболее существенных разделов теории множеств. Проблемными теориями остаются в этом случае только «богатые» теории множеств, которые являются мало существенными для математики с точки зрения ее функции. Если изложенная здесь теория онтологической истинности принципов математики является истинной, то современная математика должна быть признана в качестве абсолютно обоснованной. Неопределенность в этом вопросе, существующая до сих nbp в умах математиков и философов, проистекает исключительно из неразвитости философии математики и должна быть устранена прогрессом в этой области знания.

Особое место теории множеств в плане логического обоснования, ее сложность в этом отношении, еще требует прояснения. Простота системы отношений, на которых она сформулирована, как кажется, противоречит этому факту. Одно из обстоятельств, определяющих этот факт, заключается, по-видимому, в особенностях ее интуитивной основы. Рассматривая систему аксиом ZF, мы видим, что она содержит в себе положения, которые нельзя отнести ни к сфере логических, ни к сфере онтологических истин. Такова, к примеру, аксиома фунди- рованности, утверждающая, что все множества построены в конечном итоге из элементов, которые не являются множествами. Очевидно, что это не истина логики и не истина деятельностной онтологии. Для Демокрита ммр состоял из неделимых атомов и в этом смысле все сложное в мйре сводилось в конечном итоге к простым элементам. С точки зрения Лейбница всякая монада содержит в себе бесконечное количестве* Монад, и с этой точки зрения в мире нет ничего простого. Кант, как известно, противопоставил эти точки зрения на строение мира в качестве одной из своих космологических антиномий. Принимая аксиому фундированности, мы фиксируем более простое, демокри- товское видение мира, оставляя в стороне другое видение, ничуть не менее реальное в метафизическом плане и не более противоречивое с точки зрения логики. Но это значит, что за аксиоматикой теории множеств, в отличие от аксиоматики арифметики, элементарной геометрии и математического анализа, нет безусловной необходимости, нет той «немыслимости иного», о которой говорил Сггенсер. Математики часто обращают внимание на очевидность аксиом ZF, желая тем самым сблизить принципы теории множеств с принципами элементарных математических теорий, но мы не должны упускать здесь различие между онтологической очевидностью, проистекающей из онтологии математики, и простой наглядностью, которая может иметь эмпирические или натуралистические истоки. Мы должны заключить, таким образом, что аксиоматика теории множеств, взятая как целое, менее качественна в плане своей содержательной основы, чем аксиоматика арифметики или математического анализа. Можно сказать, что она имеет натуралистический характер, поскольку содержит в себе допущения, заведомо выходящие за сферу онтологической истинности. Но это значит, что попытки обоснования теории множеств на основе только онтологически истинных посылок обречены на неудачу.

Здесь будет полезна аналогия с логикой обоснования неевклидовой геометрии у Лобачевского. Как известно, Лобачевский исходил из телесной интерпретации аксиом евклидовой геометрии, основанной на представлении тела, сечения тела и соприкосновения тел. Проблема обоснования аксиомы параллельности была поставлена первоначально в рамках этой интерпретации. Поскольку аксиома параллельности оказалась единственной из аксиом, не выводимой на основе этой интерпретации, то она могла быть понята как произвольная и допускающая замену. С онтологической точки зрения в теории ZF такого рода произвольной посылкой, заведомо выступающей за рамки онтологической интерпретации, является аксиома фундированности, и с этой точки зрения проблема непротиворечивости теории ZF могла бы состоять в логическом обосновании совместности этой аксиомы с остальными аксиомами этой теории. Понятно, что такой подход опирается на предположение, что остальные аксиомы системы удовлетворяют требованию логической или онтологической истинности.

Другая линия обоснования намечается в рамках так называемой итеративной концепции, которая представляет собой содержательную интерпретацию аксиом теории множеств, опирающуюся на представление о построении иерархии множеств. Генетическое представление о множествах, которое связывает их в единую конструктивно развертывающуюся систему, продуктивно в том отношении, что оно позволяет уточнить содержательный смысл аксиом, а также понять осмысленность ограничений, накладываемых на понятие множества в процессе построения теории. Если мы принимаем в качестве принципа построения, что элементы множества существуют до множества, то, разумеется, невозможно множество всех множеств и невозможно появление множеств, имеющих себя в качестве своих элементов. Это значит, что теория множеств, аксиомы которой согласованы с итеративной моделью, заведомо не содержит парадоксов Кантора и Рассела. Аксиома фундированности с этой точки зрения предстает в качестве определения множества как объекта, состоящего в конечном итоге из элементов (праэлементов), не являющихся множествами. Как показывает анализ, мы можем подойти с этой точки зрения к обоснованию истинности всех аксиом, содержащихся в таких системах как Z, ZF и ZFC74.

Слабость итеративной концепции состоит в том, что она не свободна от предпосылок эмпирической теории познания и, по этой причине, не может поставить собственно обосновательной задачи. Проясняя эвристические возможности итеративной концепции множеств, Хао Ван говорит вместе с тем, что интуитивная основа аксиом может изменяться исторически и что любая интерпретация не является точной75. Ясно, что такая методологическая установка лишает смысла идею абсолютного обоснования теории на основе ее модели. Положение, однако, меняется, если мы покажем, что в основе этой модели лежат представления об идеальных предметах и их совокупностях. В этом случае мысленные операции получают характер экспликации онтологически необходимых, а следовательно, и абсолютно непротиворечивых представлений. Итеративная схема в той мере, в которой она может быть признана как относящаяся к сфере аподиктической очевидности, должна пониматься в качестве первичной и абсолютно обосновательной базы теории множеств. Задача, таким образом, состоит в соединении итеративного прояснения аксиом теории множеств с понятием онтологической истинности.

Анализ методологии обоснования позволяет считать в высшей мере вероятным допущение, что все основные теории современной математики, включая и теорию множеств, могут быть обоснованы в своей непротиворечивости в рамках некоторой рациональной программы логико-онтологического обоснования математики. Арифметика и теория множеств могут быть поняты как теории, эксплицирующие в своих идеализациях основные представления предметной онтологии и, следовательно, как формальные конструкции, обладающие предельной степенью логической надежности. Признание этих двух теорий в качестве онтологически истинных решает вопрос об абсолютном обосновании всей современной математики.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 3. Перспективы надежного обоснования:

  1. 2. Надежность интуиционистского обоснования
  2. Метапаттерны истории — перспектива обоснования
  3. 6. Сфера абсолютной надежности
  4. Надежность и строгость доказательства
  5. Надежное общество
  6. 5. Надежность логических норм
  7. 3. О надежности геометрической очевидности
  8. Надежность
  9. Диагностика по дисциплине, надежности и креативности
  10. 3. Надежность содержательного рассуждения
  11. 9.1. Надёжность оператора и системы «человек — машина». Ресурсный подход
  12. Отец — надежная крепость
  13. Надежность и ограничения родительского контроля
  14. 3.8.1» Энергетика, потоки веществ, продуктивность и надежность сообществ и биоценозов
  15. Глобальный кризис надежности экологических систем
  16. 6. Принципы онтологического обоснования математики
  17. 7. Пути обоснования логики
  18. 1. Необходимость онтологического обоснования
  19. 2. Сущностный характер евклидианского обоснования
  20. 4. Идея геометрического обоснования