3. Надежность содержательного рассуждения

Мы выяснили, что законы логики находятся в одинаковом отношении ко всем сферам рассуждения и выводы юриста или философа в этом отношении не являются менее строгими, чем выводы математика. Умозаключение «Все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен» содержит в точности ту же логическую необходимость, что и умозаключение: «Все прямоугольники имеют две диагонали, квадрат — прямоугольник, следовательно, квадрат имеет две диагонали». Строгость математики проистекает не из строгости логики, а из точности определений, которая не имеет места за пределами математики. Определенность, с которой мы отделяем прямоугольник от фигур, не относящихся к классу прямоугольников, заведомо выше определенности, которая присутствует в отделении человека от существ, не являющихся человеком.

Это значит, что обосновательное рассуждение есть обоснование с точностью до истинности и определенности, заключенной в посылках. Надо признать, что традиционные программы были неуязвимыми в этом отношении. Логицисты исходили из надежности принципов логики, интуиционистское обоснование покоится на бесспорной истинности отношений натурального ряда, формалисты апеллировали к безупречности выводов элементарной математики. Все эти основания действительно обладают полной надежностью и этот факт может быть обоснован эпистемологически. Основная проблема системного анализа состоит в том, что содержательные допущения, относящиеся к развитию математической теории, как кажется, не могут быть поставлены рядом с твердыми посылками классических программ.

Эти сомнения, однако, неправомерны, они основаны на неявном предположении, что всякое содержательное рассуждение включает в себя индуктивный и эмпирический компонент и, по этой причине, не может обладать полной надежностью. В действительности это не так. Нетрудно видеть, что в рассуждениях о непротиворечивости, проведенных выше, задействованы только два типа суждений: логические и праксеологические. Когда мы утверждаем достаточность системы аксиом для известного круга теорем или указываем на тот факт, что аксиомы в математической теории выводимы из теорем на основе правила modus tollens, то мы указываем на факты логического порядка, с которыми согласится и математик, рассуждающий на уровне гильбертов- ского метаязыка. Однако когда мы утверждаем, что содержательное доказательство на определенном этапе совершенствования достигает полной надежности, что структура логических связей в теории стремится к однозначной определенности и фактически достигает ее или что стабильная аксиоматика неизбежно является и минимальной, то мы высказываем нечто такое, что не может быть отнесено к логике или к признанной метаматематике, фиксирующей непосредственно проверяемые свойства языка. Факт надежности доказательства (даже формализованного) логически доказать нельзя. Здесь мы имеем дело с констатацией праксеологической достоверности, которая в последнем счете опирается на предположение об абсолютной критериальности социума в ситуациях конечного комбинаторного поиска. Мы не можем логически доказать, что стабильная аксиоматика минимальна, но мы знаем, что это так, поскольку не допускаем, что избыточность посылок в элементарных допущениях не была бы замечена и устранена кем-то из математиков. Иными словами, мы допускаем безусловную практическую разрешимость некоторых простых проблем при отсутствии их достаточных логических аргументов на этот счет. Здесь мы, таким образом, имеем дело с достоверностями внелогического порядка. Наша задача состояла в том, чтобы показать, что это не эмпирические, не психологические и не социокультурные достоверности и что они не менее надежны, чем сами математические теоремы.

Наряду с метаязыком, который описывает структуру формализованной теории, мы должны говорить об эпиязыке, который описывает необходимые принципы, относящиеся к содержательной математической теории. К числу таких принципов мы можем отнести обоснованные выше утверждения о том, что математическое суждение не опровергается в опыте, что математическое понятие обладает конечной определимостью, что математические доказательства неизбежно достигают полной строгости, что математическая теория в процессе своего развития приобретает окончательную структуру и т. п. Так как эти утверждения связаны с сущностью математической теории, они обладают полной надежностью и, вследствие этого, они могут выступать в качестве основы для эпистемологических выводов, обладающих абсолютной значимостью. Наряду с понятием строгого метаязыкового рассуждения мы вправе говорить о строгом эпиязыковом рассуждении, которое наряду с фактологическими и собственно логическими суждениями использует также и суждения праксеологические, обладающие предельной достоверностью.

Одним из предрассудков современной философии математики является убеждение, состоящее в том, что содержательные доводы не могут претендовать на доказательство утверждений, имеющих строгую логическую формулировку, каким является утверждение о непротиворечивости математической теории. Непротиворечивость понимается как сугубо логический факт, который может быть доказан только в рамках собственно логических рассуждений или не может быть доказана вообще.

Это, однако, заблуждение и оно опровергается уже тем фактом, что в действительности в практике методологического мышления мы постоянно прибегаем к обоснованию логических истин на основе эпистемологических соображений. Как уже говорилось, мы не можем обосновать утверждение: «Высказывание 2 + 2 = 4 — неопровержимо на основе фактов» в рамках строгой логики. Поскольку речь идет здесь об опровержении математического утверждения, то можно было бы предположить, что обоснование этого утверждения, поскольку оно сформулировано в логических понятиях, может осуществляться только в рамках собственно логической аргументации. В действительности, однако, это утверждение, как и бесчисленное количество аналогичных утверждений, получают свое полное обоснование на уровне эпистемологических соображений, а именно, на основе положений, относящихся к статусу математических объектов и к условиям познавательной операции, которую мы называем опровержением математического утверждения. Если понять утверждение «2 + 2 = 4» как констатацию идеализированных представлений о предметности, то его неопровержимость вытекает из того простого факта, что идеализированные схемы, лежащие в основании всякой систематизации опыта, не могут корректироваться на основе опыта. Такого рода эпистемологические доводы являются внелогическими и, однако, доказательными и безусловно гарантирующими невозможность опровержения.

С той же ситуацией мы встречаемся и в том случае, когда хотим обосновать надежность некоторого признанного доказательства. Поскольку понятие надежности определяется в логических терминах (как невозможность контрпримеров), то естественно было бы думать, что факт надежности-ненадежности доказательства в конкретном случае может обосновываться исключительно на основе некоторого собственно логического анализа доказательства. Однако, как было показано выше, логика, устанавливая правильность доказательства относительно некоторых посылок, ничего не может сказать нам о его надежности. Эта последняя характеристика доказательства, несмотря на то, что она допускает точное определение в логических терминах, допускает лишь эпистемологическое обоснование, основанное на допущениях о природе очевидностей, лежащих в основе доказательного рассуждения. Эпистемологическое обоснование является, несомненно надежным, ибо оно показывает беспочвенность допущений о возможном опровержении признанных доказательств на основе логического анализа или контрпримеров.

Обоснование математической теории в эпиязыке законно в той же мере, как и указанные эпистемологические рассуждения, и по своей достоверности оно совершенно равнозначно с достоверностью наших умозаключений о неопровержимости в опыте простых арифметических равенств или о неревизуемости признанных элементарных доказательств. Все эти заключения восходят к констатации непреложных логических и эпистемологических достоверностей, которые не могут быть поставлены под сомнение. Содержательный эпиязык, как и содержательный метаязык, может быть источником предельно надежных суждений о структуре математической теории. К сказанному можно добавить то простое соображение, что любое строгое обоснование по необходимости опирается на некоторые подразделения и ограничения, истинные с точки зрения содержательного анализа. В теории строгости обосновательного рассуждения мы должны исходить не из разделения формального и содержательного, а из разделения истинного и проблематичного. Содержательное рассуждение, несомненно, может быть предельно надежным.

Формалистская философия математики, выросшая как отрицание некритической интуитивной манеры математического рассуждения, возвела в гкульт знаковую форму и правила оперирования со знаками. В определенном отношении это был прогресс. Достижения чисто логического анализа математики велики и никогда не будут перечеркнуты. Но эта философия утвердила вместе с тем и целую систему ложных верований. Всякое содержательное мышление стало рассматриваться как не обладающее полной достоверностью. Формализация стала пониматься как единственный способ окончательной санкции какого-либо математического результата.

Мы должны устранить это заблуждение. Мы можем утверждать, что существуют эпистемологические соображения, являющиеся предельно достоверными и существует эпиязык, который может быть основой абсолютного обоснования логических характеристик математической теории. Иными словами, мы должны признать существование неформальных, не относящихся к метаязыку в его строгом понимании, и вместе с тем совершенно достоверных рассуждений, ведущих к полному обоснованию математического знания.