VI. ПРЕДИКАТИВНАЯ ИЛИ НЕПРЕДИКАТИВНАЯ КОНЦЕПЦИИ «МНОЖЕСТВА»

<х, у>=<и, v>,

если и только если х = а и у = v. Таким образом, две «упорядоченные пары» тождественны только в том случае, если они состоят из одних и тех же элементов и эти элементы одинаково упорядочены — только это и требуется для определения упорядоченной пары.

В математике двуместное отношение — просто множество упорядоченных пар. Поскольку «упорядоченная пара» была только что определена на основе «неупорядоченной пары», а «неупорядоченная пара» — это просто множество, то отсюда следует, что «отношение» можно определить на основе одного исходного понятия множества. Пусть R отношение такое, что для всех u, v, у

если є R и е R, то v = у,

тогда это отношение R называется «функцией». Поскольку функция была только что определена на основе понятия отношения (и понятия « = «, которое мы считаем принадлежащим к элементарной ло- гйке), то отсюда следует, что и функция определяется на основе понятия множества.

Хорошо известно, что натуральные числа 0, 1, 2, 3, ... можно РазНыми способами определить на основе понятия множества. Например, можно определить 0 как пустое множество, 1 — как множе- СтВом {0}, 2 — как {0, 1}, 3 — как {0, 1, 2} и т. д. Кроме того, и все ^ементарные операции «сложить», «умножить» и т. п., можно опре- делить на основе понятия множества. Рациональные числа естественным образом определяются как упорядоченные пары натуральных чисел, не имеющих общего делителя (при этом второй член упорядоченной пары не равен нулю); действительные числа можно, например, определить как ряды рациональных чисел, где «ряд» — функция, областью определения которой являются натуральные числа. Таким образом, все «объекты» чистой математики можно построить, опираясь на понятие множества; и именно так предпочитают делать все современные математики.

Таким образом, если в предыдущем разделе мы говорили, что физика не может обойтись без ссылок на функции и действительные числа, то теперь мы можем просто сказать, что физике необходимо лишь такое понятие как множество, поскольку понятия чисда и функции можно построить на основе понятия множества. В настоящем разделе мы дадим беглый обзор понятия множества.

Наиболее известная трудность в отношении понятия множества такова. Предположим, что: (1)

Множества — это самостоятельные сущности (т. е. сущности, по которым мы можем квантифицировать 56); (2)

Если 0 — любое точно определенное условие, то существует множество всех сущностей, удовлетворяющих условию 0.

Тогда (допуская также, что условие «~ х є х» точно определено) мы выводим, что существует множество всех множеств х таких, что х не принадлежит к х. Пусть у — такое множество, тогда: (3)

(х) (х є у = ~ х є х).

Затем, подставляя у вместо х, получаем (4)

у є у = ~ у є у,

а это — противоречие!

Очевидно, что одно из наших допущений было ложным. Какое же? Мы могли бы сказать, что «~ х є х» не является точно определенным условием. Однако, если х є у точно определенное отношение для любых произвольно выбранных множеств х и у, то преД' ставляется, что и х е X, и ~ х є х должны быть точно определены (в том смысле, что они имеют определенное истинностное значение) для любого множества х. Отказ считать, что х е у — точно опреДе' ленное отношение или что1 множества — это самостоятельные сущности, означал бы отказ от самой теории множества. В таком случае единственная альтернатива — это отказаться от (или, по крайней мере, ограничить) условие (2), которое сильно расходится с нашими цнтуициями.

Одним из способов разрешить эту трудность является так называемая теория типов. Согласно этой теории, «х е у» точно определено, если и только если х и у относятся к соответствующим типам; при этом считается, что индивидуальные объекты принадлежат к типу 0, множества индивидуальных объектов — к типу 1, множества множеств индивидуальных объектов к типу 2 и т. д. Согласно этой теории, выражение «~ х є х» нельзя даже считать грамматически правильным, поскольку ни об одном множестве мы не можем сказать, что оно является или не является собственным элементом. Можно говорить о том, принадлежит ли множество к любому множеству более высокого типа, но нельзя говорить о том, принадлежит ли множество к самому себе (или к любому другому множеству, не относящемуся к более высокому типу).

Пусть Д — некоторое отношение между индивидуальными объектами.

(5) (3 а) (а есть Д-цепь. U е а),

где «а есть R-цепь» является краткой записью для «(х) (хєаз(Зу) {yea- Rxy)».

Пусть р — множество всех U таких, что некоторая Д-цепь содержит U. Это множество совершенно законно с точки зрения теории типов, и его принимает большинство математиков. Однако отдельные математики и философы возражают против идеи такого Множества. По их мнению, определение множества /? как множества всех U таких, что существует Д-цепь, содержащая [/, «порочно», поскольку «совокупность (totality), в терминах которой определяется т. е. совокупность а, содержащая все Д-цепи могла бы содержать ** само множество Д Как правило, эти математики и философы завещают определять множество в терминах «совокупности», если т°лько мы не удостоверились, что эта совокупность не способна со- ДеРЖать это множество или любое другое, определенное с помощью

1Г-69Э6

этого первого множества. Конечно, в этом много неясного. Однако представляет интерес мотив, обусловивший такое решение.

Предположим, я вообще не понимаю слово «множество» И, По существу, использую только некоторый номиналистический ЯЗЫК N. Однажды я прихожу к выводу, что знаю два понятия, которые не являются номиналистическими или, во всяком случае, имеют спорный номиналистический статус, а именно: понятия «формула» и «истина». На основе этих понятий я могу ввести очень слабое понятие множества — определяя множества как формулы моего номиналистического языка, содержащие только одну свободную переменную х; например, я определяю множество красных вещей как формулу «Красное (х)». Понятие «быть элементом» я объясняю следующим образом: если у — индивидуальный объект, а а — «множество» (т. е. формула с одной свободной переменной «х»), то «у е а» означает, что а истинно относительно у\ при этом формула 0 (х) считается истинной относительно индивидуального объекта у только в том случае, если она истинна, когда х интерпретируется как имя для у. Итак, если а — формула «Красное (х)», то мы имеем:

yea, если и только если а истинно относительно у,

т. е. если и только если «Красное (х)» истинно относительно у,

т. е. если и только если у есть красное.

Поэтому «Красное (х)» оказывается «множеством всех красных вещей», как это и должно быть. Это понятие множества я называю «слабым», поскольку оно запрещает говорить обо всех множествах индивидуальных объектов, а тем более — о множествах, имеющих тип выше, чем 1; конечно, можно говорить обо всех формулах, но это означает лишь — говорить обо всех множествах индивидуальных объектов, определимых в языке N. Если в N будут введены новые исходные выражения, то в целом совокупность множеств, как они были только что определены, увеличится. Однако, можно повторить вышеописанную процедуру- Пусть N/— язык, получаемый из N, если разрешить квантификацйЮ по всем множествам индивидуальных объектов, определимых в М N" — язык, получаемый из N', если разрешить квантификацию всем множествам индивидуальных объектов, определимых в N' и т> д. Тогда все эти множества индивидуальных объектов, определимы* в N, N\ N"t ... представляют собой примеры «предикативных» мН°' жеств: каждое из этих множеств предполагает «совокупность», кот0' рая определена «ранее» (начиная с совокупности индивидуальны* объектов), но которая не предполагает самого этого множества. (Можно также ввести предикативные множества более высокого типа на основе понятия формулы о формулах, но мы не будем этого делать.) Для нас здесь важно подчеркнуть следующее: предикативное понятие множества можно разъяснить применительно к любому языку из серии N, N" ..., используя понятие квантификации, применимое только к тем множествам, которые были ранее определенны в указанной серии, и в целом эту терминологию — «множества, определимые в Л/», «множества, определимые в N'» и т. д. — можно считать, если угодно, просто fagon de parler 57, который можно объяснить на основе понятий формулы и истины.

Если в противовес сказанному ранее мы продолжаем говорить не только обо всех множествах, определимых в некотором языке серии N, N', N", ..., но и обо всех множествах индивидуальных объектов как о точно определенной совокупности, то считается, что мы используем непредикативное понятие множества.