Притча58

Мышь была немецким математиком по имени Давид Гильберт, который свершил много подвигов в наведении порядка на Ручье Математики, и сотворивший там величественные сооружения.

Однажды солнечным утром Гильберт Мышь сидел среди кучек веток и сверкающих камешков и держал речь перед группой почитателей.

И его слушатели, подпрыгивая от энтузиазма, резво понеслись в стороны, на ходу крича: «Да! За работу! За работу!».

Лягушка была голландским математиком по имени Лютцен Эгберт Ян Брауэр. Однажды в одно прекрасное утро, избавившись с ворчанием от головастиков, Брауэр Лягушка подплыл к лилии, уселся там в позе лотоса, и изложил, к крайнему замешательству прохожих на берегу, результаты своей докторской диссертации:

«Бог помогает тем, кто помогает самому себе! Брек- кек-кек-кек! Мышь Гильберт и Кролик Рассел, вместе с другими логиками и математиками, думают, что они могут отвертеться от меня со своими доказательствами. Брек! Когда слишком трудно доказать утверждение прямо, они предполагают противоречащее ему, а затем ищут противоречие в противоречии. Квак-квак! Они думают, что Господь Бог, подобно наивному порядочному немецкому профессору или эксцентричному английскому аристократу расчетливо увязал все возможности в чистые пары противоречий. А когда любой проницательный мыслитель находит дефектной возможную копию одной из пар, он сооружает для нее погребальный костер с жертвенным дымом, и Бог шлет назад отрицание этого ответным зефиром. Брек-кек-кек! Полный вздор! Как знает любая здравомыслящая лягушка, Бог есть трудяга-правитель и любит искусно сооружать вещи собственноручно. Если вы хотите иметь доказательство утверждения, вы должны сконструировать его, прямо, по вашей собственной инициативе, и тогда Бог одобрит вашу работу. Следовательно, я не приму ничего в качестве строго установленного в математике, если не будет предъявлено его конструирование. Мы не можем предположить ничего большего, чем, как заметил Кронекер Землеройка, интуиция целых чисел, проплывающих бесконечно, подобно ряби по этому холодному чистому ручью...»

Когда окружающие животные оправились от шока, они помчались к Гильберту Мыши рассказать о новой ереси. Между ними прыгал Кузнечик, сплевывая табачную жвачку, и крича: «Будет драчка! Тьфу! Как только мышь и лягушка встретятся, будет отличная потасовка! Тьфу!»

И потасовка началась! — Сначала словесная, с использованием громких сердитых слов, разносившихся по всей Академической Роще, далеко за пределы Ручья Математики.

В одном из эпизодов драчки Гильберт Мышь пропищал публике: «Было два великих кризиса в Основаниях Математики. Первый случился, когда Пифагор открыл иррациональность корня квадратного из двух... Второй произошел, когда философский епископ Беркли Медведь указал на противоречивость деления на нуль... Но Кантор Козел, в его Общей Теории Множеств показал нам, как решить эти проблемы, и избавиться от кризисов в Основаниях Математики! И теперь мы должны идти вперед к...»

«Не слушайте вы эту квиетистскую пропаганду, — бухнул голос из зарослей. — Теория множеств Кантора атаковала эти проблемы, создав третий кризис в Основаниях Математики] Гильберт хорошо знаком с парадоксами теории множеств!»

«Но о них можно позаботиться! — пронзительно пропищал Гильберт Мышь, протестуя. — И математика стала богаче с Общей Теорией Множеств Кантора, с его бесконечной последовательностью Алефов. Никто, — отрезал он, вертя усы, сверкая глазами, — не сможет нас изгнать из рая, созданного для нас Кантором!»

«Ну и вздор! Вы постоянно болтаете о сооружении маленького загона из аксиом для того, чтобы оградить невинную овцу ваших доктринальных тезисов от волков противоречия. Вы построили Общую Теорию Множеств. Но как удачно спросил Пуанкаре Выдра: Какой смысл строить загон для ваших овец, если вы запустили туда волков противоречия?».

В другой раз Брауэр Лягушка сидел на лилии и выдавал новое реформистское евангелие восхищенной, и в то же время озадаченной толпе слушателей на берегу Ручья Математики.

«Гильберт защищает использование для того, чтобы доказывать любую математическую теорему так называемых правил логики... Либо само утверждение, либо его отрицание истинно, и третьего не дано. Но логика не представляет собой заповедей, спущенных с неба, и не камень, через который вы можете перескакивать с одного берега Ручья Математики на другой. Нет! Логика есть множество (возможно) полезных правил того, как мыслить или аргументировать, абстрагированных из нашего математического опыта главным образом, из теории чисел и арифметики. Как указано в моей докторской диссертации, нам позволительно абстрагировать ограниченную форму этого правила логики из нашего опыта обра- щения с конечными совокупностями, так как мы знаем, что если возникнет сомнение в заключениях, полученных посредством этого правила, мы всегда сможем проверить его с помощью конечной последовательности испытаний! Но мы не имеем экспериментальной гарантии безопасности этой процедуры в случае бесконечных совокупностей! Поэтому мы не можем... использовать доказательство существования (или доказательства от противного) для постулирования свойств бесконечных совокупностей, о которых мы знаем столь мало!»

При этом Гильберт Мышь стал прыгать вверх и вниз на берегу в страшных мучениях. «Отказ от закона исключенного третьего для математика равносилен отказу астронома от телескопа, или отказу биолога от микроскопа! Не слушайте Брауэра! Вы же видите, что за жалкие остатки от математики ждут вас, если вы последуете его конструктивистским методам!»

Тут заквакал Брауэр Лягушка: «Это не будут жалкие остатки! Но это не будет также Абсурдная Заоблачная Территория, которую вы создаете с вашей Аксиомой Выбора...

«Нет, — вскричала толпа, — к каким?»

«Так внимайте! Прибегая к Аксиоме Выбора, я волен заявить, что могу рассечь луну на пять частей, затем сложить их обратно и затолкать в свой рот, как эту муху! Ууп — и одним глотком!.. Эта аксиома заверяет нас, что каждая совокупность — конечная или бесконечная — так же счетна, как круги на этом холодном, свежем ручье!»

«Вот это да! — воскликнули слушатели. — И как же это можно сделать?»

«Будьте бдительны! Не спрашивайте Гильберта Мышь, или же Рассела Кролика, или же Цорна Мускатную Крысу, потому что они не знают как... Они говорят, что Бог был их Советчиком, и запомнил все конечные и бесконечные совокупности, рассовав их по ящикам. И всякий раз, когда в доказательстве требуется пример или контрпример, им стоит лишь обратиться к Богу, их Советчику, и Он тут же, благодетель, вытаскивает соответствующую папку или упорядоченную связку папок, и отсылает их на землю — в последнем математическом журнале».

«Вот это да!» — ахнули слушатели.

«Именно так!» — В этот момент Брауэр выдул огромный пузырь, который лопнул с оглушительным шумом.

«Если преступник при совершении своего поступка ухитряется уничтожить единственную улику, которая могла бы свидетельствовать против него, должен ли я принять вердикт о его невиновности? Нет! Либо может быть доказано, что он виновен в преступлении, или же невиновен в нем, или же нет улик, хотя он и виновен. Точно так же и в математике, утверждение может быть доказано или опровергнуто конструктивно, или же мы должны признать, что оно не доказано. Брек-кек-кек!»

Сторонники различных школ мысли спорили часами на берегу Ручья Математики...

Вейль Барсук, долгое время считавшийся учеником Гильберта Мыши, был столь впечатлен аргументами Бра- уэра Лягушки, что высказал следующее пессимистическое мнение: «Мы должны научиться новой скромности. Мы штурмовали небеса, но преуспели только в том, что водружали один туман на другой, а туман не может поддерживать того, кто хотел бы обрести под ногами твердую почву...»

Тем временем различные аспекты противоречий привели к тому, что население региона разделилось на небольшие группы ссорящихся доктринеров. Среди них были Формалисты, Логицисты, Интуиционисты, Неоинтуици- онисты, Финитисты и т.д. Просто невозможно было угнаться за всеми вопросами и действиями, исходящими из столь многих штормовых центров. Поэтому Кузнечик решил, что самое время разрешить противоречия, устроив дебаты между двумя главными (и исходными) противниками — Гильбертом Мышью и Брауэром Лягушкой.

Утром накануне великого события все обитатели Ручья Математики, а также из соседнего Леса Логики, собрались под огромным дубом, в Академической Роще, дабы выслушать основные аргументы.

Но дискуссию открыл не Кузнечик, а Муравей, который сообщил, что его сосед Кузнечик внезапно отлучился, попросив заменить его. И дискуссия началась.

Через час горячность двух докладчиков и интеллектуальные страсти овладели толпой, которая в свою очередь раззадоривала крикливый обмен между двумя сторонниками полностью различных философий математики.

Внезапно, посреди крика и ора, откуда-то выскочил Кузнечик, возбужденный от новостей: «Стойте! Подождите! Есть кое-что лучшее, чем наши дебаты! Гедель Лис получил совершенно неожиданный результат: он доказал, что вы не можете доказать непротиворечивости арифметики!»

«Что?» — вскричал ошарашенный Гильберт Мышь.

«И что, он на самом деле сделал это?» — прогудел с сомнением Брауэр Лягушка.

«Да, он сделал это, Брауэр. На самом деле, точно. Гедель Лис использовал методы, с которыми ты не можешь поспорить. Видишь ли, его доказательство сконструировано в соответствии с моделью, которую он извлек из структуры натуральных чисел, как раз твоей парадигмы всей математики. И — Гильберт, мой друг — Гедель доказал, что любая аксиоматическая система, какая вам угодна, должна либо потерпеть неудачу в схватывании существенных результатов арифметики, или же в нее уже проникли волки противоречия!»

Полное молчание, павшее на собрание под дубом, было нарушено практичным Муравьем: «Тогда — дебаты завершены. Пора возвращаться к нашим делам...»

А на Лугу Овца, которую пас (классический математический) пастух, блеяла по ходу следующую песню:

Бог мой Советчик; и я не ошибаюсь. Он устраивает мне публикации в респектабельных журналах; он учит меня, как использовать доказательство от противного. Он направляет меня на путь истинный; Он ведет меня путем классической логики,

во имя истины. И в своих блужданиях по долинам доказательств существования я не боюсь

противоречий, потому что Он редактирует мою работу. Меня вполне устраивает и Аксиома Выбора, и Лемма Цорна. Он приглашает меня на коллоквиумы

по классическому анализу, когда там нет конструктивистов. Он часто и с одобрением отзывается о моих работах

в Mathematical Reviews; моя репутация растет во всем мире. Конечно же, на меня изливаются гранты и почести И я поднимусь в своем департаменте до звания Почетного Профессора.

Аминь!