2. Ментальный характер множества

Если мысли подлежат счету, то они суть предметы в некотором мире. Возникает вопрос с том, что это за мир. Первая и до сих пор наиболее влиятельная попытка ответить на этот вопрос называется платонизмом. Платон выдвинул идею о существовании мира идей, идеального царства сущностей, где и помещаются математические объекты (поскольку теорЛя идей Платона была инспирирована Пифагором). В современной философии платонизм не находит особо горячего отклика, поскольку утверждение о существовании еще одного мира, помимо материального, ставит перед теорией познания сложнейшие вопросы. Действительно, если существует мир идеальных объектов, то как мы Узнаем о них, и более того, делаем весьма осмысленные и даже истинные утверждения? Эта проблема так называемого эпистемического доступа решается по-разному. Есть тут подлинные крайности. Например, X. Филд, современный философ математики (упомянутый в гл. 1), утверждает, что математические предложения ложны, поскольку нет объектов, о которых делаются математические утверждения. ДрЗтая крайность состоит в том, что математические объекты все-таки существуют в идеальном мире, и доступ к ним осуществляется с помощью математической интуиции. Такой точки зрения придерживался знаменитый логик К. Гедель. При этом он усматривал аналогию Между ощущениями предметов материального мира и интуицией математических объектов. Между двумя этими крайностями можно найти много промежуточных, частично удовлетворительных, теорий о Природе математических объектов. Подлинный теоретический парадокс состоит в том, что с точки зрения оснований классической математики платонизм является наиболее адекватной позицией, в то время как другие позиции не могут привести к обоснованию всей математики. Платонизм есть утверждение, что математические объекты существуют вне и независимо от человеческого разума. Другое направление — интуиционизм — говорит о том, что математические объекты суть умственные конструкции, и в этом смысле субъективны. Так вот интуиционизм не позволяет получить некоторых ключевых теорем математического анализа, тем самым ограничивая математику существенным образом. Парадоксальность тут усматривается в том, что для математики адекватна наиболее спорная, если не сказать, неправдоподобная философски концепция.

Итак, примем пока предположение о том, что мысли существуют в некотором пространстве, общем для всех людей. Это, конечно, весьма спорное предположение, но именно оно, судя по всему, критически важно для обоснования математики. С точки зрения математика, эти мысли существуют объективно, и открываются мыслителями точно так же, как это делают, скажем физики или зоологи в отношении вещей материальных. Эта позиция крайнего платонизма, или, в другой терминологии, реализма, была прекрасно выражена математиком и философом Б. Расселом. Это часто цитируемая фраза нами уже упоминалась: «Логика имеет дело с реальным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее абстрактными и общими чертами»60. Правда, как отмечает К. Гедель в своей знаменитой статье о логике Рассела, в более поздних изданиях эта фраза была убрана61. Очевидно, надо умерить такой крайний платонизм, и рассматривать такое представление как аналогию, хотя и в высшей степени полезную.

Самым подходящим примером в связи с идеальными объектами является понятие бесконечного множества. Множество обычно задается парой скобок, внутри которых содержится описание содержания множества. Р. Рукер предлагает уподоблять пару скобок мысленному надутому шарику62. Суть аналогии в том, что множество представляет собой некоторое единство. Так, множество {1,2} представляет собой единство, образующееся из множественности 1 и 2. Другими словами, мы представляем себе множество {1,2} как мысленный надутый шарик, в котором содержится 1 и содержится 2. Наиболее интригующей для нематематиков вещью в теории множеств является концепция пустого множества, которое традиционно обозначается через 0. Пустое множество получается собиранием вместе ничто.

Тут уместен философский комментарий. Пустое множество есть нечто, а внутри него ничто. Существует знаменитый философский вопрос: «Почему существует нечто, а не ничто?» Нет вразумительного ответа на глобальный вопрос о том, почему вообще что-то должно существовать. Это обстоятельство есть просто факт о нашем мире, который следует просто принять. На вопрос о том, почему существует пустое множество, нет вразумительного ответа. Но сама идея образования множеств отвечает, видимо, объективным фактам о мире.

Если мы совершим операцию собирания, символизируемую замыканием парой скобок содержания множества, то в данном случае мы получим пустой мысленный надутый шарик { }. Повторение операции замыкания скобок, т.е. образования множеств, приводит к более сложным множествам. Так, из { } мы можем получить {{ }}, или же {{},{{}},{{},{{}}}}. Заранее скажем, что последнее образование есть представление числа 3 в терминах множеств. Когда мы говорили о проблематичности «и т.д.» в случае мысли о мысли о мысли... то имели в виду свойство рефлексивности мышления. В более техническом изложении это свойство выглядит так:

Пусть мы начинаем с некоторого множества Мтакого, что единственным членом его есть оно само, т.е. М= {М}. А теперь, заменим справа Мна {М} и получим М- {{М}}'. Если мы могаи бы производить эту замену бесконечно, тогда мы раздули бы М до размера

{{{{{ }}}}}• Это было бы определением М, чьим единственным

членом является оно само, поскольку замыканием скобок { } мы ничего не изменяем. Множество Месть множество, чьим единственным членом является множество, чьим единственным членом является множество... Но если единственный член множества Месть само это множество, тогда М в реальности имеет один элемент. И если мы пытаемся описать этот элемент при помощи скобок, мы получаем бесконечное описание. Объекты, подобные М, называются саморепрезентативными. Теперь возникает вопрос о том, какова природам. Ясно, что вряд ли оно может быть материальным объектом, поскольку описанное выше приумножение сущностей не свойственно физическому пространству. Стало быть естественно предположить, что М существует объективно в мысленном пространстве. Коль скоро описанная процедура порождения объектов через скобки дает множества, сама теория множеств может быть представлена как наука, исследующая это пространство. Подчеркнем, что такое представление о множестве требует предпосылки об объективности существования мысленного пространства. Как известно, эта наивная посылка ведет к парадоксам. Тем не менее подобная метафизика необходима для теории множеств, и значительная часть трудностей и проблем в философии математики связана с поразительным контрастом между ясностью техники теории множеств и туманными метафизическими ее предпосылками. Опираясь на эту метафизику (например, рефлексивность ума, далее мы увидим не менее метафизические предпосылки теории), математики утверждают, что существуют бесконечные множества.

На самом деле, в объяснении природы множества появляются вещи, которые даже не требуют «высокой метафизики», но которые, тем не менее, озадачивают, и больше того, приводят к парадоксам.

Хотя вопрос о восприятии множеств как об одной из наиболее фундаментальных человеческих способностей, является весьма спорным, надо признать, что именно эта способность представляется очевидной64. Рассмотрим пример. Пусть мы имеем набор точек на плоскости, с виду совершенно случайно расположенных. Наша привычка к организации чувственных ощущений приводит к тому, что в случайной картине беспорядочно расположенных точек мы можем увидеть осмысленные контуры. Точки, образующие каждый контур, составляют множество. Поскольку один и тот же набор точек может дать неопределенное число осмысленных контуров, мы можем иметь самое различное число множеств. Если отвлечься от чисто перцептуального аспекта образования множеств, то ясно, что концептуальная организация опыта приводит к образованию множеств. Так, совокупность людей может дать множества любителей животных, алкоголиков, садоводов, родителей и т.д.

Но если образование множеств обязано перцептуальной и концептуальной деятельности человеческого сознания, тогда возникает типично философский вопрос о статусе множества. Так, существует ли множество, если никто не мыслит о нем? Кантор решает этот вопрос достаточно радикально, полагая, что множества уже существуют, независимо от того, являются ли они предметом чьей- либо мысли. Платонизм поднимает огромное множество проблем и вопросов. В некотором, вполне определенном смысле в каждом куске породы уже существует скульптура, которую можно сделать из него. Следует обратить внимание на слово «возможно»: при таком понимании множество есть форма возможной мысли. Более приближенный к математике пример таков: есть такие числа, которые в силу своей огромной величины не могут быть постигнуты челове- ческим умом, и тем не менее, сторонник Кантора уверен в том, что множества таких чисел существуют.

Больше того, согласно Кантору, существует бесконечная иерархия бесконечных множеств. Не все согласны с такого рода представлениями, и многие полагают, что существуют лишь конечные множества. Как видим, существование бесконечностей не может быть доказано и появляется в математике как некоторый постулат, часто выражаемый в виде аксиомы бесконечности. Этот постулат принимается платонистами в противовес финитистам, согласно которым бесконечность не существует. Мы не будем описывать эту ставшую традиционной для изложения философии математики дискуссию. Для нас здесь важно то, что аргументация платониста о существовании бесконечности опирается на предпосылку об объективном существовании мысленного пространства, описание которого и есть теория множеств. Надо понимать и другое: принятие бесконечности есть в некотором смысле акт веры, которую в наиболее сильной форме выразил создатель теории множеств Г. Кантор: «Боязнь бесконечности есть форма близорукости, которая предотвращает возможность видения актуальной бесконечности, хотя в наивысшей своей форме она создала и поддерживает нас, а в своей вторичной трансфинитной форме она окружает нас и даже обитает в наших умах»65.

Как уже было сказано, метафизические, или попросту философские, рассмотрения играют в основаниях математики особую роль. В частности, речь идет о Принципе Рефлексивности. При рассуждении о бесконечности чисто спекулятивно можно прийти к такому понятию как Абсолютная Бесконечность, превыше которой ничего помыслить нельзя. Если все элементы мысленного пространства собрать вместе, мы получаем класс всех множеств, обычно обозначаемый через V. С этим понятием связаны многие парадоксальные заключения. Если V есть множество, тогда оно может быть членом другого (большего) множества, что противоречит условию, что мы имеем класс всех множеств. Тогда, во избежание парадоксов мы вынуждены ввести ограничение — класс всех множеств Уне может быть множеством. Так что ^представляет собой такое собрание вещей (мыслей), которое никогда не может мыслиться как нечто единое.

Принцип Рефлексивности (в метафизическом варианте) формулируется так: каждое постижимое свойство Абсолютного (именно так можно понимать класс всех множеств) присуще также некото- рой меньшей сущности. В математическом варианте этот принцип таков: каждое постижимое свойство, присущее V, присуще также некоторому множеству. Естественно, что при обсуждении такого рода принципов, как Принцип Рефлексивности, могут иметь место самые разные интерпретации, вплоть до мистических, что не удивительно, поскольку речь идет о бесконечности, да еще и абсолютной (что бы это ни означало). Здесь же мы ведем речь о рациональной реконструкции идеи бесконечного.

Коль скоро речь идет об Абсолютном, всей метафизической традицией предполагается его непостижимость. Так вот Принцип Рефлексивности предотвращает его постижимость. Действительно, предположим обратное, а именно, что Абсолют имеет такое постижимое свойство .4, которое принадлежит только ему, и не принадлежит никакой меньшей сущности. Но если А вообще постижимо, тогда сущность, которая обладает этим свойством, не может быть Абсолютом, который сам по себе непостижим, и значит, эта сущность отражает лишь одну из сторон Абсолюта. Принцип Рефлексивности в такой формулировке кажется туманным, и не очень понятно, в чем состоит его польза в математике. Но оказывается, что этот принцип служит мостиком между метафизикой и идеей бесконечных множеств. Пусть мы имеем мысленное пространство, о котором говорили выше. Элементом этого пространства является возможная мысль В. Далее, мысль «В есть возможная мысль» также принадлежит мысленному пространству. Тогда, согласно Принципу Рефлексивности, должна быть некоторая мысль С такая, что для каждой мысли В в С, мысль «В есть возможная мысль» также входит в С, т.е. мы имеем некоторое свойство, специфицированное предложением в кавычках. Тогда С имеет это упомянутое выше свойство мысленного пространства. Действительно, мы можем строить иерархию возможных мыслей, которые не могут исчерпать мысленного пространства. Остается заключить, что С должно быть бесконечным. Это и есть доказательство того, что бесконечная мысль существует. Позднее, этот Принцип Рефлексивности обретет более техническое звучание, а пока можно просто заключить, что если принимается существование бесконечного Абсолюта, тогда допустимо принятие существования бесконечных мыслей и множеств.

Можно подойти к объяснению этого принципа по-другому. Универсум множеств столь сложен, что не может быть полностью описан. Отсюда следует, что нечто истинное о всем универсуме уже должно быть истинно о некотором исходном сегменте универсума. Значит, любая попытка однозначно описать V применима к его мень- шей части, которая «отражает» (reflect) свойство, приписываемое V. П. Мэдди при этом добавляет, что рефлексия (отражение) влечет неисчерпаемость.

Все эти рассуждения поднимают проблемы, связанные с концепцией множества. Множество есть нечто, что образуется мысленной операцией, которая организует множества сообразно некоторому свойству или принципу. Из одного и того же набора предметов можно сформировать несколько множеств (в конечном случае из набора п элементов можно сформировать 2" множеств). При этом вовсе не обязательно, чтобы собираемые в множество элементы имели между собой что-либо общее. Важен акт мысли, делающий из Многого Единое. Тогда возникает вопрос о том, существует ли множество, если никто не мыслит его?

Это очень сложный вопрос, который является точным аналогом традиционных дискуссий в философии, разделяющих идеализм и материализм, реализм и концептуализм и многих других. Если не входить во все эти подробности, можно считать упрощением ситуации убеждение Кантора в том, что множества существуют независимо от того, мыслит кто-либо их или нет. Это явно реалистическая посылка, которая еще будет обсуждаться нами позднее. Как уже было сказано, «множество есть форма возможной мысли». В связи с этим возникает вопрос, есть ли «невозможные мысли», которые не дают множества?