1. Счет и бесконечность

Как видно, счет основан на идее установления одно-однозначного соответствия, которая и является базисной логической идеей. Но в этом случае можно отказаться от «посредничества» чисел и прямо сравнивать размеры множеств путем установления одно-однозначного соответствия между элементами множеств. Счет может рассматриваться как установление существования одно-однозначного соответствия между конечным множеством объектов и подмножеством натуральных чисел.

Следует отметить, что концепция соответствия может рассматриваться как логическая, и учитывая базисность этой концепции,

можно понять правдоподобность логицистской позиции Фреге и Рассела, согласно которой математика есть логика. Эта позиция усиливается, если учесть, что само понятие множества также определяется логически. Это не аргумент в пользу логицизма, а некоторого рода психологическое пояснение, свидетельствующее в его пользу. Весьма убедительно такой подход представлен в знаменитой книге Б. Рассела Введение в математическую философиюкоторая является нетехническим изложением системы Principia Mathematica Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда, вершины второго этапа математической логики и оснований математики.

В применении к конечным множествам установление того факта, что два множества имеют одинаковое количество элементов, через одно-однозначное соответствие, почти тривиальна. Основной интерес представляет распространение такого представления на все множества, включая бесконечные. Именно это было сделано Г. Кантором и привело к теории трансфинитных чисел. Но следует иметь в виду, что возникающее на этом пути обобщенное понятие числа, а именно, кардинального числа, радикально изменяет бытовавшее до Кантора представление о бесконечности.

Распространение идеи одно-однозначного соответствия на бесконечные множества сталкивается с трудностью, которая была известна еще Галилею. Дело в том, что бесконечные множества имеют парадоксальное свойство: бесконечное множество может быть поставлено в одно-однозначное соответствие с собственным подмножеством. Так, множество натуральных чисел может быть поставлено в такое соответствие с множеством четных или же нечетных чисел. До основополагающих работ Дедекинда и Кантора это обстоятельство считалось, пользуясь терминологией современной философии науки, аномалией в понимании природы бесконечности. Действительно, в случае бесконечных множеств целое оказывается равным части, что было не только парадоксальным, но и делало понятие бесконечности сомнительным. «Реабилитация» Дедекин- дом бесконечности состояла в том, что парадоксальное свойство бесконечного множества было положено в основу его определения: множество бесконечно, если можно установить одно-однозначное соответствие между множеством и его собственным подмножеством. Но при этом становится парадоксальным понятие «размера» множества, так как число элементов множества не может теперь счи-

1 Рассел Б. Введение в математическую философию / Пер. В.В. Целище- ва. —М.: Гнозис, 1996. таться показателем его «размера». Таким образом, понятие числа элементов множества вообще не подходит к бесконечным множествам. Тут мы имеем некоторого рода диалектический поворот: сперва мы полагаем, что множество измеряется соответствующим ему числом, через установление одно-однозначного соответствия между элементами множества и натуральными числами. Затем идея такого соответствия распространяется на бесконечные множества. В результате мы получаем, что к ним понятие числа не применимо вообще.

Это может означать, что бесконечность как понятие отрицает понятие счетности. В некотором смысле оказывается, что все бесконечные множества имеют один и тот же «размер», который как-то превышает размер конечных множеств. «Как-то» относится к тому факту, что нет возможности сопоставить «размер» бесконечных множеств и размер конечных множеств.

Бесконечными множествами, которые в первую очередь приходят в голову, являются множество натуральных чисел и множество действительных чисел. Кантор показал, что не существует одно-однозначного соответствия между элементами двух этих множеств. Но если это так, тогда среди бесконечных множеств одно может быть «больше», а другое «меньше», хотя такое упорядочение не похоже на упорядочение по величине среди натуральных чисел. Частью этого доказательства является установление (Кантором же), что для любого множества Л (конечного или бесконечного) не может быть одно- однозначного соответствия между А и множеством всех его подмножеств (множество-степень А). Из этого утверждения следует, что множество натуральных чисел не может быть поставлено в одно- однозначное соответствие с его множеством-степенью. Теперь, каждое подмножество множества натуральных чисел может быть поставлено единственным образом в соответствие с бесконечной последовательностью нулей и единиц. Каждая такая последовательность рассматривается как бинарное десятичное представление действительного числа в интервале (0, 1), и значит, представляет точку на линии, и поскольку действительные числа указывают все точки на линии, это все означает, что натуральные числа не могут быть поставлены в одно-однозначное соответствие с точками на линии. Дру- гими словами, любое подмножество натуральных чисел не исчерпывает всех точек на линии, и стало быть, натуральных чисел меньше, чем точек. Так возникает идея о большем и меньшем в отношении бесконечных множеств.

Любая математическая идея является частично следствием ранее установленных результатов, и частично следствием введенных определений. Не менее важны неявные или явные предположения, лежащие в основе математического рассуждения. Отступая от «диалектического» представления введения меры бесконечных множеств, представим структуру подхода к этому вопросу Кантора.

В качестве определения выступает следующее утверждение: Множество есть некоторая совокупность определенных и отдельных объектов, собранных в целое нашей интуицией или мыслью. Это определение представляет наиболее естественное, и в то же самое время, самое проблематичное описание собирания объектов мысли в множество. Сам акт собирания в высшей степени идеален, что вводит в точные концепции расплывчатые принципы типа Принципа Рефлексивности.

В качестве предположения берется следующее утверждение: Каждое множество имеет определенную «мощность», или «кардинальное число. Здесь присутствует акт постулирования нового типа числа, которое предстоит согласовать с обычным понятием числа, и «сделать» для таких чисел арифметику.

В качестве опять-таки определения выступает следующее утверждение: Два множества имеют одну и ту же мощность, или кардинальное число, если и только если, имеется одно-однозначное соответствие между ними. Кантор так комментирует это определение: «Мы назовем "мощностью" или "кардинальным числом" множества М общую концепцию, которая посредством нашей активной способности мысли возникает из совокупности М, когда мы абстрагируемся от природы ее элементов и порядка, в котором они расположены»59.

С философской точки зрения трудность состоит в том, что образование множества является чисто умственным актом, который может быть чистым произволом; например, в множество могут быть объединены элементы, которые не имеют между собой ничего общего. Известно, что множества могут быть заданы через объем (экстенсионально) или перечнем элементов, или же через порождаю- щее свойство (интенсионально), присущее всем элементам множества. В случае конечных множеств, если у его элементов нет общего свойства, множество можно задать перечнем элементов. Но как это сделать в случае бесконечного множества? Считается, что бесконечные множества могут быть заданы только через порождающее свойство. Если это так, то нарушается аналогия между конечными и бесконечными множествами, в которой был заинтересован Кантор, считавший, что всякое множество определяется его элементами. Если это условие не будет соблюдено, тогда невозможно будет приписать бесконечному множеству размер. И вот тут Кантор вводит чисто философское предположение о том, что бесконечное множество также может быть задано перечнем, и невозможность такого человеческого мысленного акта означает просто ограниченность человеческого интеллекта, т.е. в принципе бесконечные множества могут быть измерены (через число элементов), но для этого надо их «сосчитать».