<<
>>

VII. НАСКОЛЬКО ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО НЕОБХОДИМА НАУКЕ?

Ранее мы утверждали, что понятие множества (или некоторое эквивалентное понятие, например, понятие функции) необходимо науке. Однако, теперь мы должны спросить: какое понятие множества необходимо науке — «строгое» (непредикативное) или только «слабое» (предикативное)? Если мы действительно хотим разобраться с номинализмом и реализмом, то нам следует допустить в качестве альтернатив не только (а) номинализм, но и (б) принятие общего понятия «все множества» (или даже «все множества индивидуальных объектов»).
Если у нас есть склонность к номинализму, то мы постараемся сделать свои неноминалистические обязательства как Можно более слабыми, а потому возможность ограничить эти обязательства двумя понятиями истины и формулы представляется весьма Желательной. Некоторые номиналисты считают истину понятием, на Которое они в любом случае имеют право; а формулы (трактуемые Как типы формул, представленные реальными записями), если и являются «"абстрактными" сущностями», то все-таки относительно ясными.

В случае чистой математики можно было бы ответить следующее: определенную часть математики можно разрабатывать, исполь- зуя только предикативную теорию множеств, при условии, что допускаются предикативные множества других, не только физических, объектов. Например, если мы рассматриваем формулы языка N в качестве индивидуальных объектов для некоторого другого языка М, а затем строим серию языков М, М\ М'\ ... по вышеописанной схеме, то мы можем, по крайней мере, сформулировать арифметику рациональных чисел и элементарную теорию функций для рациональных чисел. (Однако, «для начала» нам необходима некоторая бесконечная область индивидуальных объектов; вот почему мы вынуждены рассматривать абстрактные объекты, например, формулы, в качестве индивидуальных объектов, если не хотим постулировать существование реально бесконечной совокупности физических объектов.) К сожалению, этим способом нельзя получить никакой удовлетворительной теории действительных чисел и теории функций для действительных чисел; по этой причине большинство математиков отвергают предикативную теорию.

Возвратимся к логике, к понятию «корректности».

Выше мы уже отмечали, что понятие корректности, а именно — «истинности всех результатов подстановок» (скажем, в М), можно, по сути дела, определить в терминах предикативной теории множества (т. е. на основе понятий истины и квантификации по формулам). Мы также видели, что для более удовлетворительного понятия корректности требуется использование выражений «все множества», т. е. понятия непредикативной теории множества.

И, наконец, возвращаясь к физике, мы видим следующее. На первый взгляд, закон всемирного тяготения (здесь предполагается, что это единственный закой физики) требует квантификации по действительным числам. Однако, этот закон эквивалентен утверждению, что для каждого рационального числа є и любых рациональных чисел mh m2, d существует рациональное число 5такое, что

если Ма = т{ ± S, Мь = т2 ± 5, d = dx ± St

то

g тх т2

F = ± є

dx

а это утверждение предполагает квантификацию только по рацй0' нальным числам. Хотя (!) гравитационная постоянная g может и быть рациональным числом, но я не буду касаться здесь этой пр0'

блемы.) Таким образом, язык, допускающий квантификацию только до рациональным числам и позволяющий измерять расстояния, массы, силы и т. п. только с рациональной аппроксимацией («масса а равна тх ± Л), в принципе, является достаточно строгим, по крайней мере, для формулировки закона всемирного тяготения.

Рациональные числа можно легко определить, используя только предикативную теорию множеств. Этой теории множеств также достаточно для определения «кардинального числа S», где 5 — любое определимое конечное множество физических объектов. Осуществить «нумеризацию» таких физических величин, как расстояние, сила, масса, используя рациональные аппроксимации и предикативные множества, достаточно сложно, но вполне возможно. Итак, при использовании только предикативной теории множеств физика оказывается возможным (но сложным и неудобным) занятием.

Подведем итоги. Теоретико-множественные «нужды» физики удивительно совпадают с теоретико-множественными «нуждами» чистой логики.

Обеим этим дисциплинам для их функционирования нужна какая-то теория множества. Обе дисциплины могут «существовать», но с трудом, имея в качестве «скудной диеты» только предикативные множества, но их существование становится гораздо привлекательней при «обильной диете» в виде непредикативных множеств. Поскольку необходимость квантификации по множествам является аргументом в пользу их существования (в следующем разделе мы обсудим, почему это так), поэтому мы можем сказать, что это строгий аргумент в пользу существования, по крайней мере, предикативных множеств и достаточно, хотя и не столь строгий, аргумент в пользу существования непредикативных множеств. Однако, обращаясь к более высоким уровням теории множества — множествам множеств множеств множеств, мы сталкиваемся с понятиями, в которых сегодня нуждается только чистая математика. Таким образом, развиваемый в настоящем разделе аргумент в пользу «реализма» имеет ограниченный характер: по крайней мере, множества Предметов, действительные числа и функции, отображающие различного рода предметы на действительные числа, следует признать составляющими на сегодня необходимую (или практически необходимую) структуру как физической науки, так и логики, и в этом качестве мы обязаны признавать их существование. Но множества очень вьісокого типа или очень большой мощности (например, большей Мощности континуума) следует сегодня изучать с оговоркой «если», ^огда-нибудь они могут стать такими же необходимыми для форму- АиР0вки физических законов, какими сегодня являются, скажем, ра- циональные числа, и тогда сомнения в их «существовании» будут столь же тщетны, как и крайний номинализм сегодня. Но на сегодняшний день мы должны видеть в них то, чем они являются, а именно — умозрительными и дерзкими сооружениями над ОСНОВНЫМ математическим аппаратом науки.

<< | >>
Источник: Патнэм Хилари. Философия сознания. Перевод с англ. Макеевой, Назаровой О. А., Никифорова A.; — М.: Дом интеллектуальной книги. — 240 с.. 1999

Еще по теме VII. НАСКОЛЬКО ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО НЕОБХОДИМА НАУКЕ?:

  1. НАСКОЛЬКО ВЕРА В УЧЕНИЕ О НЕОБХОДИМОСТИ ВЛИЯЕТ НА ПОВЕДЕНИЕ ЛЮДЕЙ
  2. ХОЛОДИЛЬНИК НА ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ГАРАНТИИ. НАСКОЛЬКО ЭТО НЕОБХОДИМО?
  3. 5. Теория множеств и реальность
  4. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАНТОРА И ИНТУИЦИЯ АКТУАЛЬНО БЕСКОНЕЧНОГО
  5. Теоретизация современной науки. Природа теоретических объектов науки и их соотношение с объективной действительностью (проблема реальности в современной науке)
  6. Коллектив авторов. Теория и практика гендерных исследований в мировой науке. Материалы международной научно-практической конференции., 2014
  7. VII. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
  8. § CXXXIII VII доказательство. Атеизм не ведет с необходимостью к испорченности нравов
  9. VII. ТЕОРИЯ ТИПОВ И СИМВОЛИЗМ: КЛАССЫ
  10. Н.Н. Трубникова Знак и действительность 8 буддийском «тайном учении» Ку:кай «Сё: дзи дзиссо:-ги» («О смысле слов: голос, знак и действительный облик»)'
  11. СУЩЕСТВЕННО ЛИ НЕОБХОДИМА СВОБОДА ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ ДОБРОДЕТЕЛИ; О ДУХОВНОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ НЕОБХОДИМОСТИ
  12. НАСКОЛЬКО ИНФОРМАЦИЯ ДОСТОВЕРНА?
  13. Насколько отличается Россия?
  14. Аксиома пустого множества
  15. МНОЖЕСТВА
  16. Глава 4 СЕМЕЙНАЯ ИДЕНТИЧНОСТЬ. НАСКОЛЬКО ЗНАЧИМО БЫТЬ В БРАКЕ
  17. Аксиома множества-степени
  18. 7. Вполне-упорядоченные множества
  19. 6.7. Множество историй