3. Кантовский интуиционизм

Математическое рассуждение в этом случае перестает быть интуиционистским вследствие потери конструктивности, но оно может остаться интуиционистским в плане интуиционистской приемлемости исходных объектов. Мы должны исходить из того, что целью обоснования математики является не редукция ее к какому-либо частному типу представлений (к арифметике, логике и т, п.) или к частному методу, а обоснование непротиворечивости, которое в общем случае может прибегать к любым истинным основаниям и методам. И если оказывается, что некоторая система математических истин может быть принята как предельно надежная на основе аподиктической очевидности и если эта система истин развертывается затем на основе реальной логики, то полученная в результате теория должна быть признана как предельно обоснованная в смысле отсутствия в ней внутренних противоречий.

Раосуждая таким образом, мы оправдываем некоторый вариант интуиционистского обоснования математической теории, не связанный с брауэровскими ограничениями на логику. Если изложенные выше представления о статусе принципов логики верны и если признано, что аподиктическая очевидность аксиоматики обеспечивает ее предельную непротиворечивость, то намеченная схема обоснования математической теории должна быть принята в качестве законной. Мы будем называть такое обоснование обоснованием по схеме ЧИСТОГО интуиционизма, так как являясь интуиционистским по характеру исходных посылок, оно не связано с требованием конструктивности всех утверждений и с брауэровскими 'ограничениями на использование классической логики. Наша стратегия, таким образом, может состоять в том, чтобы принять интуиционизм как подход к выбору исходных понятий и принципов математической теории, при условии устранения ограничений на принципы классической логики и, в частности, на чистые доказательства существования.

В развитии математической теории, как уже сказано, мы используем логику в двух качествах: в качестве правил определения понятий и в качестве правил дедукции. Так как два этих аспекта использования логики существенно независимы, то в принципе возможны три следующих варианта логической организации математики: 1.

Классические объекты + классическая логика. 2.

Конструктивные объекты + классическая логика. 3.

Конструктивные объекты + конструктивная логика.

Первый вариант математики реализуется всей классической математикой и, в частности, канторовской теорией множеств. Третий вариант —• это брауэровская интуиционистская математика.

Критика классической математики, проведенная Брауэром, была чрезмерно радикальной. От первого варианта построения математики он перешел к третьему, оставив без внимания общий план математики, намеченный в кантовской системе. Представляется, что в настоящее время мы должны будем возвратиться именно к этому среднему плану как к плану практического построения и обоснования математики.

Близкое к этому построение оснований математики было намечено Г. Вейлем в его книге «Континуум» (1917). Надежное представление математики должно исходить, по Вейлю, из принятия бесспорного экзистенциального региона, относительно которого у нас нет сомнений в существовании относящихся к нему объектов и первичных свойств. Все другие объекты и свойства должны быть определены на основе первичных в рамках дефинициальных правил, которые исключают появление объектов типа множества всех свойств рациональных чисел ит. п., не подкрепленных их индуктивным введением на основе первичных свойств. Вейль считает, однако, что закон исключенного третьего является важнейшим положением, задающим определенность математического мышления. На каждый вопрос относительно того, обладает ли объект некоторым свойством, если это свойство определено в соответствии с правилами, мы должны, считает Вейль, отвечать с полной определенностью в положительном или отрицательном смысле34. Общая логика «Континуума» Вейля ближе к Брауэру, чем к Канту, в том отношении, что приемлемое основание математики здесь ограничивается исходными понятиями арифметики. Современный анализ программы Вейля показывает, что она полностью решает задачу арифметического обоснования анализа, хотя использует при этом несколько более сильные средства, чем те, которые предполагались в ее исходной формулировке35.

Праксеологическая теория математической очевидности позволяет нам понять, что переход от брауэровской математики к кантовской не приводит к потере надежности математических рассуждений. Если мы ясно поняли, что закон исключенного третьего не несет ответственности за парадоксы и что источник логических трудностей в математике вообще лежит не в правилах дедукции, а в правилах введения поня- тий, то кантовокая математика представляется наиболее перспективной в качестве базы обоснования математики в целом. Здесь мы не допускаем объектов, заданных произвольными гипотезами, совместность которых с уже принятыми объектами не доказана, но с другой стороны, снимаем все ограничения, проистекающие из неадекватной философии логики.