Философия математики Лейтзена Эгберта Яна Брауэра

Л. Э.

Об обоснованиях математики

Философские принципы интуиционизма Брауэра

Одно из ключевых положений интуиционистской философии математики состоит в том, что математика представляет полностью автономную и самодостаточную деятельность. Она не нуждается ни в каких внешних гарантиях; все, что ей необходимо, содержится в ней самой.

Логицисты и формалисты видели в парадоксах классической математики заболевание, которое требует лечения и которое можно вылечить, если подобрать подходяще логическое лекарство. Интуи- ционисты считали парадоксы симптомом болезни, лечение которой требует полной перестройки всей математики. Самая радикальная программа такой перестройки была предложена голландским математиком Л. Э. Я. Брауэром (1881-1966).

По его мнению, положение дел в обосновании математики в начале XX в. представляет следствие изменений ведущих философских установок на отношение математики к опыту, языку и логике. Основной тренд этих изменений — сдвиг интереса от объекта к субъекту и, как следствие, постепенное освобождение математики от диктата опыта, языка и логики.

Убеждение в безусловной точности законов математики, полагает Брауэр, являлось предметом дискуссии многие сотни лет и в конце концов привело к возникновению двух соперничающих школ — интуиционизма и формализма (к которой Брауэр причисляет и логицизм). Йнтуиционисты признают в качестве источника точности математики человеческий интеллект, формалисты — бумагу. «В философии Канта мы находим старую форму интуиционизма, ныне почти отброшенную, в которой время и пространство считаются априорными формами чувственности, прирожденными человеческому разуму. Для Канта аксиомы арифметики и геометрии — априорные синтетические суждения, т. е. суждения, независимые от опыта и недоказуемые аналитически; именно этим объяснялась их аподиктическая точность в мире опыта и в абстракции. Поэтому для Канта возможность экспериментального опровержения арифметических и геометрических законов не только исключалась твердым убеждением в их истинности, но и была просто немыслима.

Диаметрально противоположна точка зрения формализма, который утверждает, что человеческий разум имеет в своем распоряжении образов прямых линий или чисел, скажем, не более десяти, и поэтому источник этих математических объектов находится не в нашем представлении природы, а в самой природе... Для формалиста, следовательно, математическая точность сводится к созданию метода вывода одних отношений об объектах из других и не зависит от значения, которое можно приписать этим отношениям или связываемым ими объектам»9®.

Однако точка зрения Канта на априорный характер пространства оказалась поколебленной открытиями Лобачевского, Больяи, Ри- мана, Гильберта, Эйнштейна. Стало ясно, что геометрия более не является наукой о свойствах одного единственного, именно реального пространства.

Ободренные этими открытиями формалисты предположили, что математические формализмы, как и логические истины, не являются абстракциями опыта и попытались вообще устранить всякое различие между логикой и математикой, доказать их полное единство. Ими двигало желание доказать непротиворечивость всей математики, избавить ее раз и навсегда от парадоксов. Но теоремы Гёделя о неполноте похоронили эту надежду окончательно. Всего лишь несколько математиков, именно Пуанкаре, Борель и Лебег, которых Брауэр называет своими прямыми предшественниками, попытались отстоять независимость некоторых базисных разделов математики от логики, хотя и признавали роль последней в математических доказательствах.

В целом положение дел в области обоснования математики, предшествовавшее возникновению интуиционизма, согласно Брауэру, выглядело так. Доинтуиционистская математика оказалась разделенной на автономную и неавтономную части. К автономной математике относились: элементарная теория чисел, принцип полной индукции, значительная часть алгебры и теории чисел. Надежность и непротиворечивость положений этой части математики не зависели от языка и доказательств. Неавтономная математика, чьи истины, как считал Брауэр, зависели от логики и языка, включала теорию континуума действительных чисел. Доказательство его непротиворечивости Брауэр считал поэтому самой неотложной задачей. «Что касается континуума, вопрос о его существовании, независимом от языка, был проигнорирован. Появились попытки обосновать континуум логическими средствами как множество действительных чисел с определенной на нем позитивной мерой, но без какого-либо доказательства его непротиворечивости»65.

Для создания новой математики, считает Брауэр, объединяющей автономную и неавтономную части, доказательства ее незави- симости от опыта, языка и логики, обоснования внутреннего критерия достоверности всех ее истин, необходимо восстановить в правах идею Канта об интуиции времени как априорной форме чувственности, обосновывающей истинность арифметических истин. То, что оказалось невозможным в отношении обоснования геометрии, должно было стать истинным в отношении элементарной теории чисел и тем самым — в отношении всей математики. Программу, обосновывающую новую математику, Брауэр назвал (новым) интуиционизмом.

Собственно философская часть этой программы состоит из двух тезисов, названных Брауэром «двумя актами (принятия) интуиционизма». С их помощью он объясняет, почему математика должна быть автономной от языка и логики, и раскрывает смысл математического конструирования с интуиционистской точки зрения.

Первый акт интуиционизма требует «полного отделения математики от математического языка и, следовательно, от феномена языка как такового, что характерно для теоретической логики, осознания того, что интуиционистская математика в своей основе — независимая от языка деятельность ума, берущая свое начало в восприятии движения времени. Это восприятие времени можно описать как раздвоение жизненного момента на две качественно различные части, одна из которых открывает путь другой, но сохраняется только в памяти. Если рожденную таким образом двоичкость лишить качества, она превратится в пустую форму общего субстрата для всех двоичностей (т. е. превратится в правило перехода от числа л к числу п + 1. — в. С.). И именно этот общий субстрат, эта общая форма представляет базисную интуицию математики»66.

Математическая интуиция Брауэра — интуиция порождения натурального ряда чисел, непрерывного потока становления, который никогда не может завершиться. В другой работе Брауэр поясняет эту мысль следующим образом. «Эта интуиция, будучи базисной интуицией математики, создает не только числа один и два, но также все конечные порядковые числа, поскольку один из ее элементов можно мыслить как новое два в одном, причем этот процесс может повторяться неопределенно долго... Наконец, эта базисная интуиция, объединяющая вместе связанное и отдельное, непрерывное и дискретное, порождает интуицию линейного континуума, т. е. отношения 'между', которое нельзя исчерпать введением новых единиц и которое по этой причине никогда не может рассматриваться как простая совокупность единиц»67.

Первоначальная интуиция обосновывает не только элементарную теорию чисел, но также и геометрию.

Первоначальная интуиция Брауэра выраженная на специфическом языке идея потенциальной бесконечности натурального ряда чисел. Она дает априорное обоснование принципа математической индукции и утверждает конструктивный характер математического знания. Согласно этой интуиции знать какой- либо объект, знать, что он существует, означает знать, как его построить.

Априорный характер первоначальной интуиции принципиально отличает созданные на ее основе математические конструкции от результатов как их логико-лингвистического выражения и осмысления, так и от чувственного восприятия систем знаков. В качестве общего инварианта, она предшествует чувственному восприятию знаков и их логическому или опытному смыслу как идеальный оригинал предшествует всем своим заведомо худшим копиям.

Против классической логики Брауэр формулирует следующие возражения. Во-первых, она предполагает, что независимо от человеческой мысли существует некая абсолютная истина, отдельные части которой выражаются предложениями, называемыми «истинными утверждениями». Но, считает он, существо- вание такой истины представляет не более тем метафизическую гипотезу. Во-вторых, классическая логика признает законным существование общих лингвистических правил, разрешающих автоматическую дедукцию новых истин из старых. Так что, стартовав с ограниченного множества «очевидно» истинных утверждений, названных аксиомами, можно получать новые истины посредством одних только логических операций. То, что аксиомы могут передавать истину своим следствиям, этого Брауэр не отрицает. Проблема, по его мнению, заключается в том, что истинность самих аксиом устанавливается некоторым чуждым для математики путем. Значит, истинность следствий аксиом также сомнительна. В-третьих, используя термин «ложный» как «противоположность истинного», классическая логика признает, что благодаря так называемому «принципу исключенного третьего» каждое утверждение, в частности, о существовании, либо истинно, либо ложно независимо от того, знает ли кто-либо это на самом деле. Однако закон исключенного третьего действителен только для рассуждений о конечных областях объектов.

Итак, следует принципиально отличать математическую деятельность от ее логико-лингвистического выражения. Только активность, подчиняющаяся внутреннему опыту, способна создавать новые математические объекты. Без сомнения, математический язык позволяет выражать их и вступать в коммуникацию. Но он сам по себе никогда не способен создавать новые математические конструкции. Кроме того, он очень часто создает иллюзию математической достоверности, когда без внутреннего контроля начинает переносить выводы с конечных областей на бесконечные. «Допустим, в математическом языке, в котором формулируется некоторая интуиционистская операция, присутствует случайным образом иллюстрация одного из принципов классической логики. Зависит ли она каким-нибудь образом от языка, в котором формулируется эта математическая процедура?

Внимательный анализ позволяет дать следующий краткий ответ. Учитывая неизбежную неадекватность языка как средства описания и коммуникации, указанная иллюстрация подчиняется принципам противоречия и силлогизма. Но в отношении закона исключенного третьего, помимо нескольких особых случаев, ответ отрицательный, потому что этот принцип никак не может счи- таться в общем случае инструментом открытия новых математических истин»69.

Язык и логика не способны обеспечить достоверность математических рассуждений в бесконечной области. Закон исключенного третьего, истинный в любой сколь угодно большой конечной области, бесполезен в бесконечной. Реальный предмет математики — бесконечное. А бесконечное не может быть оправдано никаким опытным или логико-лингвистическим способом. Поэтому ни сведение математики к логике, ни аксиоматизация математических теорий, ни финитная программа обоснования всей математики не годятся для ее обоснования. Бесплодие этих проектов объясняется просто — они не способны создавать математические объекты, истинные в бесконечных областях.

Возможность порождения математических объектов, истинных в любых, включая и бесконечные, областях, и вместе с этим возможность, создания новой автономной математики указывает второй акт интуиционизма.

Второй акт интуиционизма требует считать законными только «два способа создания новых математических объектов: во-первых, в форме более или менее свободного порождения бесконечных последовательностей математических объектов из созданных ранее (так что для десятичных дробей, не имеющих ни одного точного значения, нет никакой гарантии, что эти значения когда-либо будут установлены); во- вторых, в форме математических обобщений, т. е. свойств, которыми, по предположению, обладают ранее прстроенные математические объекты и удовлетворяющих также условию, что если они выполняются для некоторого объекта, они также выполняются для всех 'равных' ему объектов»70.

Только после того, полагает Брауэр, как математику станут считать конструктивной деятельностью, основанной на интуиции времени, которая хотя и может быть применена к внешнему миру, но ни по своему происхождению, ни по своим методам не зависит от него, а критерий истинности математического утверждения будет ограничен самой математической деятельностью, математика достигнет полной автономии и само-оправдания. Непосредственным следствием такого радикального изменения становится то, что для произвольного математического утверждения р допускавшиеся классической логикой две альтернативы, истина ілшіложь, заменяются следующими тремя: •

истинно то утверждение, которое доказано; •

ложно то утверждение, которое, как доказано, абсурдно (противоречиво); •

не истинно и не ложно то утверждение, истинность или абсурдность которого не доказаны, или неизвестен конечный алгоритм доказательства его истинности или ложности.

Случай, когда не доказаны ни истинность, ни абсурдность утверждения, но алгоритм такого доказательства известен, сводится, как очевидно, к первым двум случаям.

Отождествление интуиционистского существования с конст- руируемостью проводит водораздел между интуиционистской и классической теорией множеств. Например, в интуиционистской теории множеств выражение а є S означает, что а является элементом множества S, если а определимо независимо от S. Выражение а g S означает, что для а невозможно быть элементом множества S, или что допущение а є S ведет к противоречию.

Если интуиционистское множество S есть подмножество другого интуиционистского множества Т (каждый член S — член 7), их разность T-S равна множеству тех членов Г, которые, возможно, не могут быть членами S. В классической теории объединение T\j(T— S) означает класс элементов, которые являются членами Т или T-S, или обоих множеств, и результат объединения всегда равен Т. С интуиционистской точки зрения, результат Ти (T-S) может быть и не равен Т.