2. Надежность интуиционистского обоснования

В смысле строгости обоснования программа интуиционизма (в доступной ей зоне действия) находится вне критики, ибо самоочевидные конструкции разума на основе аподиктически самоочевидных предметов, какими являются конечные числа натурального ряда, являются его предельно надежными конструкциями и не могут включать в себя противоречивых допущений. Теория онтологической истинности полностью оправдывает интуиционистскую математику в смысле ее надежности и признает интуиционистское обоснование математических теорий, там где оно возможно, в качестве предельно надежного обоснования.

Недостаток интуиционистской программы, как уже сказано, состоит в ограниченности ее возможностей. Охватывая арифметику и алгебру, а также и геометрические теории в той мере, в которой они допускают арифметическую интерпретацию, интуиционистская программа оказывается неспособной реконструировать основные утверждения классического анализа и оказывается в принципе неспособной подойти к обоснованию теории множеств.

Несмотря на это обстоятельство, было бы неправильным полностью отказаться от круга идей, связанных с интуиционизмом. Основная мысль Брауэра основана на противопоставлении содержательной и формальной математики, интуитивного и формального подходов к обоснованию строгости математики. Брауэр был убежден, что и принятие отдельных доказательств, и принятие математических теорий как корректных происходит в сфере содержательных представлений и не нуждается в искусственных лингвистических приемах, к которым прибегали Фреге, Пеано, Рассел. Прояснение онтологической природы математического мышления позволяет утверждать, что по большому счету истина в этом споре находится на стороне Брауэра.

Реабилитация математического априоризма на праксеологической основе позволяет не только оправдать интуиционистскую программу в смысле ее надежности (в доступной ей области), но и наметить некоторые пути ее расширения, совместимые с надежностью обосновательного рассуждения. Так же, как и в случае с логицизмом, мы должны отвлечься здесь от основной цели интуиционистской программы, т. е. от задачи конструктивной редукции математики к исходным представлениям арифметики, считая, что ее несостоятельность в этом смысле полностью доказана, и сосредоточить свое внимание на прояснении вопроса, в какой степени интуиционистские идеи при их праксеологической интерпретации могут быть использованы в деле обоснования непротиворечивости основных теорий современной математики и в какой степени программа интуиционизма может быть усилена, исходя из более широкой трактовки непосредственной данности математических объектов, намеченной в теории праксеологиче- ского априоризма. Имеются основания утверждать, что праксеологическая трактовка самоочевидности первичных математических объектов и операций открывает некоторые новые возможности внутреннего обоснования математики, существенно родственные интуиционизму и достаточные для обоснования непротиворечивости центральных теорий современной математики.