<<
>>

2. Надежность интуиционистского обоснования

Мы должны прежде всего зафиксировать то обстоятельство, что интуиционистски построенная теория несомненно непротиворечива. Интуиционистская философия математики вследствие свойственной ей психологичности не обосновывает этого факта с достаточной строгостью.
Брауэр ищет истоки праинтуиции в психологии субъекта, в психологической необходимости перехода от мысленного акта как целого к разделению его на два элемента и к возможности повторения этого процесса до бесконечности31. Обращение к такого рода чисто психологическим конструкциям ничего не доказывает. Натуральный ряд, выведенный на основе их, не обладает интерсубъективностью, необходимой для оправдания математики. Действительное обоснование интуиционистской программы возможно только в эпистемологической плоскости, на основе оправдания исходных интуиций арифметики в рамках универсальной онтологии мышления. С праксеологической точки зрения фундаментальность представления о натуральном ряде обусловлена наличием идеально-предметных представлений как необходимой части универсальной онтологии. Всякое действование в мире связано с представлением об идеальном предмете, обладающем конечностью, стабильностью, изолированностью и другими качествами, определяющими саму возможность деятельности. Идея пространства определяет представление об аддитивных совокупностях таких предметов, а идея времени задает их упорядоченность в процессе счета. Натуральный ряд чисел, таким образом, это интеллектуальная конструкция, обусловленная системой универсальных категориальных представлений и однозначно определенная на этом уровне. Фиксируя этот момент, мы освобождаемся от всякого психологизма и приходим к пониманию однозначности и непреложности первичных математических представлений для человеческого сознания. Натуральный ряд чисел не конструируется ни индивидуальным, ни коллективным разумом. Это идеальное видение вещей, необходимая форма видения вещей в процессе действия, навязанная человеческому разуму в силу его деятельностной природы.

В смысле строгости обоснования программа интуиционизма (в доступной ей зоне действия) находится вне критики, ибо самоочевидные конструкции разума на основе аподиктически самоочевидных предметов, какими являются конечные числа натурального ряда, являются его предельно надежными конструкциями и не могут включать в себя противоречивых допущений.

Теория онтологической истинности полностью оправдывает интуиционистскую математику в смысле ее надежности и признает интуиционистское обоснование математических теорий, там где оно возможно, в качестве предельно надежного обоснования.

Недостаток интуиционистской программы, как уже сказано, состоит в ограниченности ее возможностей. Охватывая арифметику и алгебру, а также и геометрические теории в той мере, в которой они допускают арифметическую интерпретацию, интуиционистская программа оказывается неспособной реконструировать основные утверждения классического анализа и оказывается в принципе неспособной подойти к обоснованию теории множеств. Брауэр сам доказал положение о том, что важная для анализа теорема Больцано-Вейерштрасса не доказуема в интуиционистской математике32. Причина этой ограниченности состоит прежде всего в отказе от использования классической логики в полном объеме. Фактически Брауэр поставил задачу воспроизвести все содержание математики, опираясь только на собственно математические очевидности, отказавшись от логики как автономного средства расширения области истинных математических суждений. В настоящее время является хорошо обоснованным то обстоятельство, что ни логика, ни арифметика взятые порознь не достаточны для того, чтобы быть основанием математического знания в целом.

Несмотря на это обстоятельство, было бы неправильным полностью отказаться от круга идей, связанных с интуиционизмом. Основная мысль Брауэра основана на противопоставлении содержательной и формальной математики, интуитивного и формального подходов к обоснованию строгости математики. Брауэр был убежден, что и принятие отдельных доказательств, и принятие математических теорий как корректных происходит в сфере содержательных представлений и не нуждается в искусственных лингвистических приемах, к которым прибегали Фреге, Пеано, Рассел. Прояснение онтологической природы математического мышления позволяет утверждать, что по большому счету истина в этом споре находится на стороне Брауэра.

Реабилитация математического априоризма на праксеологической основе позволяет не только оправдать интуиционистскую программу в смысле ее надежности (в доступной ей области), но и наметить некоторые пути ее расширения, совместимые с надежностью обосновательного рассуждения.

Так же, как и в случае с логицизмом, мы должны отвлечься здесь от основной цели интуиционистской программы, т. е. от задачи конструктивной редукции математики к исходным представлениям арифметики, считая, что ее несостоятельность в этом смысле полностью доказана, и сосредоточить свое внимание на прояснении вопроса, в какой степени интуиционистские идеи при их праксеологической интерпретации могут быть использованы в деле обоснования непротиворечивости основных теорий современной математики и в какой степени программа интуиционизма может быть усилена, исходя из более широкой трактовки непосредственной данности математических объектов, намеченной в теории праксеологиче- ского априоризма. Имеются основания утверждать, что праксеологическая трактовка самоочевидности первичных математических объектов и операций открывает некоторые новые возможности внутреннего обоснования математики, существенно родственные интуиционизму и достаточные для обоснования непротиворечивости центральных теорий современной математики.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 2. Надежность интуиционистского обоснования:

  1. 3. Перспективы надежного обоснования
  2. Интуиционистская математика
  3. Интуиционистская логика (высказываний
  4. 1. Сущность интуиционистской программы
  5. Интуиционистская критика закона исключенного третьего
  6. 6. Сфера абсолютной надежности
  7. Надежность и строгость доказательства
  8. Надежное общество
  9. 5. Надежность логических норм
  10. 3. О надежности геометрической очевидности
  11. Надежность
  12. Диагностика по дисциплине, надежности и креативности