Интуиционизм и конструктивизм. Математика как создание интутивно и алгорифмически очевидных конструкций

Нет актуальной бесконечности. Кантори- анцы (последователи основателя теории множеств Г. Кантора. — В. С.) забыли это и впали в противоречие,

А. Пуанкаре. Наука и метод

Всех неклассических математиков объединяет общее убеждение, что надежность математических построений гарантируется только тогда, когда математика исследует доступные нашему сознанию конечные объекты, допускающие конечные и эффективные операции над ними.

Открытие парадоксов классической теории множеств вынудило одних математиков искать решение возникшей проблемы в ее аксиоматизации, других — в совершенствовании ее логических методов, третьих — в доказательстве логической непротиворечивости всей математики. При этом математика рассматривалась как наука, общие принципы которой правильны и не могут подвер- гаться сомнению. Но нашлись исследователи, получившие позже имя неоклассиков, которые посчитали парадоксы теории множеств симптомом не отдельных частных «неполадок», а признаком ложности всей классической математики. «Математики, придерживающиеся этой позиции, утверждают, что в математике — особенно в современной математике — недостаточно обоснованны понятие бесконечности и вытекающие из него следствия; в то же время они признают, что для математики — в отличие от почти всех других наук — это понятие является настолько жизненно необходимым, что огромное большинство математических фактов, не имеющих отношения к бесконечности, едва ли не тривиально. По мнению этих математиков, в анализе и геометрии по ходу их развития с XVII столетия, а особенно с начала XIX столетия, особый характер понятия бесконечности и его следствий совершенно игнорировался, так что слывшие строгими методы теории действительных чисел и анализа, введенные в математику в XIX веке — от Коши до Вейерштрасса и Кантора, — не только не достигали поставленных перед ними целей, но привели к созданию разработанной системы, основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей. Таким образом, возникла некая ложная концепция математики в целом»61.

Незаконная бесконечность, превратившая математику в ложную науку, — понятие актуальной бесконечности, введенное Кантором. Всякая попытка выразить и оперировать законченной бесконечностью в конечном словаре символов неизбежно приводит к противоречиям. Никакая логика не способна предотвратить их появление. Иными словами, актуальная бесконечность принципиально несовместима с конечным характером наших мыслительных процедур. Пуанкаре выразил эту несовместимость наиболее ярко. «Можно ли рассуждать об объектах, которые не могут быть определены конечным числом слов? Можно ли даже говорить о них, зная, о чем говорят, и произнося нечто иное, чем пустые слова? Или же, наоборот, их следует рассматривать как непознаваемые? Что касается меня, то я не колеблюсь ответить, что они просто не существуют. Все объекты, которые мы сможем когда-нибудь себе представить, или будут определены конечным числом слов, или же будут определены только несовершенно и останутся неотделимыми от массы других объектов; и мы не можем исследовать их логически строго до того, как мы их отделим от этих других объектов, с которыми они остаются связанными, т. е. до того, как мы придем к определению их конечным числом слов»62.

В более широком смысле понятие актуальной бесконечности противоречит конечной природе человека как познающего существа. Принятие этого понятия вынуждает его размышлять о завершенных бесконечностях, данных вместе со всеми своими элементами, в терминах своего конечної-о опыта, языка и способностей. Вместо того чтобы предполагать бесконечность как изменяющееся количество, потенциально способное увеличиваться или уменьшаться выше или ниже любого установленного уровня, актуальная бесконечность заставляет принять допущение, что высший или низший уровни изменения количества на самом деле уже преодолены.

Значит, ложность математики, перестроенной на теоретико- множественном основании, проистекает из-за навязанного Кантором самопротиворечивого и тем самым ложного основания. Если исходить из конечной природы человека, конечного характера совершаемых им умственных операций, то новым основанием математики может быть, по мнению неоклассиков, только понятие потенциальной бесконечности. По своему определению это понятие предполагает наличие сколь угодно большой, но всегда конечной совокупности объектов и тем самым всегда конечного множества действий над этими объектами. Тем самым данное понятие обеспечивает эффективность и принципиальную проверяемость всех математических утверждений, а значит, и невозможность возникновения в математике парадоксов и антиномий. «Всякая теорема математики должна быть доступна проверке. Когда я высказываю... теорему, я утверждаю, что все проверки, которые я испробую, приведут к желаемому результату, и даже если одна из этих проверок требует труда, превосходящего человеческие силы, я утверждаю, что если много поколений сочтут нужным заняться этой проверкой, то и в этом случае она удастся. Теорема не имеет другого смысла; это остается верным и тогда, когда в ее формулировке говорится о бесконечных числах; но так как проверки могут быть проведены только для конечных чисел, то отсюда следует, что всякая теорема, относящаяся к бесконечным множествам... не может быть чем либо иным, как сокращенным способом формулирования предложений, относящихся к конечным числам. Если дело обстоит иначе, то эта теорема недоказуема, а если она недоказуема, то она не будет иметь смысла»63.

Понятие потенциальной бесконечности обеспечивает математике начало, внутренне присущее самой математике, а не заимствованное откуда-то извне. Ничто внешнее, включая опыт, язык и классическую логику, не может служить таким началом. Тотальная реорганизация математики на основе данного начала — задача, которую поставили перед собой нео-классики.

Более конкретно решение этой задачи требовало, выражаясь словами Пуанкаре64: 1.

Анализировать только такие объекты, которые могут быть результатом конечных умственных построений, т. е. могут быть определены конечным числом слов. Такие объекты принято называть конструктивными. 2. Рассматривать все предложения, относящиеся к бесконечности, как сокращенное выражение предложений, относящихся к конечным совокупностям объектов и действий. Совокупности образовывать посредством последовательного прибавления новых членов, рекомбинации старых и считать их бесконечными только из-за отсутствия причин остановиться.

3. Исключать в математических построениях непредикативные, т. е. предполагающие «порочный круг», классификации и определения.

Итак, неклассическая математика — математика, отказывающаяся от теории 'множеств Кантора, закона исключенного третьего, понятия актуальной бесконечности и признающая понятие потенциальной бесконечности как идейный базис для своих теорий.

Основной признак неклассической математики — конструктивность ее построений. Поэтому резонно именовать ее конструктивной математикой, или (математическим) конструктивизмом. Среди школ, составляющих неклассическую математику, особое место занимает интуиционизм Брауэра. Исторически он представляет первую и наиболее влиятельную концепцию конструктивной математики. Остальные направления конструктивной математики возникли в попытке либо улучшить его (Д. ван Дален, А. С, Троэлстра), либо развить альтернативные версии конструктивизма (школы Маркова и Бишопа).