<<
>>

§ 2. Первопорядковая семантика (теория моделей)Определение 1 (модели)

Модель языка логики предикатов первого порядка есть пара M = (D, I), где: D - непустое множество объектов, называемое областью интерпретации; I — есть отображение, называемое интерпретацией, которое: 1.
Каждой индивидной константе аеС сопоставляет элемент а1 е D. 2. Каждому предикатному символу Pn е R сопоставляет подмножества Dn. Заметим, что каждому объекту области интерпретации соответствует только одна константа и каждая константа обозначает только один элемент, т. е. в классической логике предикатов не допускаются константы, которые ничего не обозначают (пустые по значению константы). Определение 2 (оценки, приписывание) в модели M = (D, I). Оценка есть отображение f из множества переменных в множество элементов D. Значением оценки переменной является произвольный элемент области D, который будем обозначать, например, для переменной х через xf. Обратим внимание, что функция интерпретации I приписывает значение дескриптивным терминам языка логики предикатов в области интерпретации, т. е. индивидным константам и предика там. Функция оценки f приписывает значение переменным в об - ласти интерпретации. Напомним, что термином является константа или переменная. Дальше, когда будем определять истинность формулы в модели, нам надо будет учитывать значение термина. Определение 3 (значение термина в D). 1. Для константы: a1, f = а1, т. е. функция f не определена на константах. 2. Для переменной: xI,f = xf, т. е. функция I не определена на переменных. Определение 3 позволяет компактно определить истинность формулы в модели, чтобы не определять истинность формулы отдельно для констант и отдельно для переменных, а также комби нации констант и переменных. Определение 4 (истинности формулы в модели). Пусть M = (D, I) модель языка первопорядковой логики, и пусть f — функция оценки. С каждой формулой А нашего языка свяжем истинностное значение AI,f (истину или ложь) посредством следующих условий.
Обозначим истину через «1», а ложь через «0». Будем исполь - зовать метазнак о для обозначения эквивалентности левой и правой части определений. Определение истинности формулы определяется не в самом языке первопорядковой логики, а в метаязыке, т. е. языке, в котором мы делаем утверждения о языке ло гики предикатов (объектном языке). Подобно тому, когда изучают иностранный язык, изучаемый язык называется объектным, а родной язык, посредством которого изучают иностранный, является метаязыком. 3. (A * В)1 ,f о (AI,f * BI,f), где * заменяется одной из логических связок, указанных в фигурных скобках, т. е.* = {^-, л, v, о}. 4. (УхА (х)) I,f = 1 о А (х) I,f = 1 для каждого приписывания f значений переменной х, т. е. формула А(х) истинна для каждого элемента области интерпретации D. 5. (ЗхА (х)) 1 ,f = 1 о А (х) I,f = 1 для некоторого приписывания f значениям переменной х, т. е. формула А (х) истинна для не - которого элемента области интерпретации D. Методические указания. В пункте 1 дана символическая запись корреспондентской (классической, аристотелевской) теории истины. Формула истинна (левая часть определения) при данной интерпретации I в модели M = (D, I), если и только если (правая часть определения) предметы области D, соответствующие константам tj, ..., tn входят в объем предиката А. В пункте 4 запись А (х) If = 1 по определению означает: А (ах) = 1, А (а2) = 1, ..., А (ак) = = 1, ..., где а1, а2, ..., ак, индивидные константы, обозначающие элементы области интерпретации. А в пункте 5 запись А (х)^' = 1 по определению означает: что хотя бы для одного элемента области интерпретации, обозначенного некоторой константой а., формула А (а])и = 1. Определение 5. Формула А выполнима в модели, если имеет - ся приписывание f, при котором формула А принимает значение «истинно». Определение 6. Формула А истинна в модели, если для любого приписывание f формула А принимает значение «истинно». Определение 7. Формула А общезначима, если она истинна в любой модели, т. е.
при любой области интерпретации (их число бесконечно). Законы де Моргана для кванторов: 1. УхА (х) о- ~З~А (х). 2. ЗхА (х) о ~У~А (х). Методические рекомендации 1. Изучить все определения. 2. Подобрать примеры, которые демонстрируют работу этих определений. Вопросы для самоконтроля 1. Что такое терм? 2. Что такое модель первопорядковой логики предикатов? 3. Дайте определение формулы? Обратите внимание, что оно строится индуктивно. 4. Сформулируйте условия истинности для логики предикатов первого порядка. 5. Объясните значение того, что определение истинности фор - мулы покоится на классической теории истины. 6. Сформулируйте условия ложности формулы в модели языка логики предикатов. Литература 1. Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики. М., 1998, 1999, 2000, 2002, 2004. Гл. 3, § 1, 2. 2. Войшвилло Е. К. Символическая логика. Классическая и релевантная. М., 1989. Гл. 2. 3. Клини С. Математическая логика. М., 1973. Гл. 2, § 16-20. 4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976, 1984. Гл. 2, § 1-3. 5. Солодухин О. А. Логика. Ростов н/Д, 2000. Гл. 5, (5.1-5.2). 5.
<< | >>
Источник: под ред. проф. В. Д. Бакулова, проф. А. Н. Ерыгина. Основы философии: учебник для бакалавров философских. 2009

Еще по теме § 2. Первопорядковая семантика (теория моделей)Определение 1 (модели):

  1. 4. Общая теория и модель
  2. Теория вторая. Пятиступенчатая модель Черчиля и Левиса.
  3. 3.1. Система «человек — машина», информационная модель, концептуальная модель
  4. Задание 6. Определение модели общения педагога с учащимися
  5. Теория имплицитных представлений о способностях: модель К. Две,"
  6. Теория моделей культуры Альфреда Крёбера
  7. C. Автономов ПОИСК НОВЫХ РЕШЕНИЙ (МОДЕЛЬ ЧЕЛОВЕКА В ЗАПАДНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 1900- 1920-х ГОДОВ) 1. ПСИХОЛОГИЯ И ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ: КОНФЛИКТ И ЕГО ПОСЛЕДСТВИЯ
  8. 8. Модели
  9. 2J. Дополнение теоретической модели референта
  10. А . Полезные модели
  11. СИСТЕМЫ, МОДЕЛИ И ТЕОРИИ
  12. 6. Патентоспособность полезной модели
  13. Модель Фишбейна
  14. Модели сегментации канала
  15. § 5.17. Охрана полезных моделей
  16. Классификация научных моделей
  17. Неопозитивизм и проблема моделей