ТЕОРЕМЫ И МОДЕЛИ

Математическая логика известна широкой публике в значительной степени благодаря знаменитым теоремам, которые имеют многочисленные философские интерпретации и следствия. К таким результатам принадлежит, например, теорема Геделя о неполноте арифметики, или теорема Тарского о невозможности определить понятие истины для системы внутри самой системы.

Здесь есть по крайней мере три примечательные вещи. Во-первых, того, что якобы сделал Гедель, вообще не может быть, поскольку существует весьма много непротиворечивых теорий. Во-вторых, Гедель на самом деле не доказал этого и не пытался доказать. В-третьих, не имеет смысла говорить, что противоречивая теория могла бы стать непротиворечивой, будучи "поддержанной извне", что бы это ни значило. (Противоречивость есть вещь упорная; вы можете избавиться от нее не добавлением, а лишь отниманием.) Так что Деррида якобы сделал так же невозможно, как и невозможно то, что якобы сделал Гедель.

Такие ошибки приводят к провалу на экзамене по философии или логике на первом курсе. Однако это обстоятельство не производит особого впечатления в мире Видных Интеллектуалов в Литературе. В их мире простое упоминание Геделя, подобно типичному заклинанию типа "иерархий" и "метаязыков", создает впечатление чего-то страшно глубокого и страшно научного. Это придает Видному Интеллектуалу в Литературе лестный образ человека, которому по плечу самые трудные и глубокие проблемы, образ импрессарио страшно трудных вещей. Я полагаю, что журналист упал в обморок».

Хотя ситуация с аналитическими философами с интерпретацией математических результатов не выглядит столь драматической, тем не менее, и здесь зачастую имеют место не совсем обоснованные заключения от чисто математических результатов к философским следствиям.

Формализация некоторого контекста всегда сопровождается значительными ограничениями, которые становятся видными именно при формализации, например, четкое определение ресурсов формального языка, выразимость на нем понятий неформализованной практики и т.д. Перенос этих ограничений на неформализованную практику может приводить к значительному искажению представлений о наших интуитивных возможностях и ресурсах. Такая ситуация может иметь место, когда интерпретация формальных результатов переносится на неформализованную практику математиков и философов. Между тем следует еще показать, что такой перенос вообще обоснован: скажем, философов надо убедить в обоснованности применения формальных аргументов для философских заключений. Есть несколько ситуаций взаимодействия технических результатов (с использованием формализмов) с их философскими интерпретациями. Во-первых, есть твердо установленный результат в некоторой формальной системе, и из этого результата выводятся философские следствия с видимой необходимостью. Во-вторых, эти философские заключения должны иметь независимую мотивацию, т.е. иметь значимость только в присутствии «посылки принцессы Маргарет». В-третьих, один и тот же формальный результат можно интерпретировать несколькими противоположными способами, так что конфликтующие философские взгляды равноправны по ряду параметров. В этом случае мы можем говорить о неразрешимости философских интерпретаций формальных результатов. Наконец, может быть и так, что формальный результат, используемый для философской аргументации, оказывается ошибочным, несмотря на внешнюю убедительность философской позиции. Тут мы имеем этакое обращение «посылки принцессы Маргарет». Поразительно, но все четыре позиции могут быть иллюстрированы при обсуждении философских интерпретаций теоремы Левенгейма — Сколема.