1. Теорема и ее интерпретации

Теорема Левенгейма — Сколема как-то обойдена философским вниманием, хотя следствия из нее сколь глубоки, столь и неясны. Формально теорема Левенгейма — Сколема непроблематична: любая теория первого порядка, имеющая несчетную модель, имеет счетную модель. Но почти немедленно в отношении этой теоремы возникает атмосфера парадокса. Согласно диагональной теореме Кантора не существует одно-однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством действительных чисел. Если имеется некоторая версия формализованной теории чисел, тогда теорема принимает вид

-і (ER) (R одно-однозначно. Область определения RaN.

Область значений R есть S),

где R — отношение, N — есть формальный термин для множества всех целых чисел, S — множество действительных чисел, и все три части конъюнкции имеют определение в терминах первого порядка. Поэтому формализованная теория множеств говорит, что определенное множество S несчетно, и теория множеств должна иметь только несчетные модели. Но это невозможно, поскольку по теореме Левенгейма — Сколема, если теория имеет несчетную модель, она также имеет и счетную.

«Популярная» интерпретация теоремы Левенгейма — Сколема представлена Клайном в его превосходной книге: «Предположим, что составлена система аксиом (логических и математических) для какой-то области математики или теории множеств, которая рассматривается как основа для всей математики. Наиболее подходящим примером может служить система аксиом для целых чисел. Составляя ее, математики стремились к тому, чтобы эти аксиомы полностью описывали положительные целые числа, и только целые числа, но к своему удивлению обнаружили совершенно новые интерпретации, или модели, тем не менее удовлетворяющие всем аксиомам. Например, в то время как множество целых чисел счетно, в других интерпретациях возникают множества, содержащие столько же элементов, сколько их содержит множество всех вещественных чисел, и множества, отвечающие еще большим трансфинитным числам. Происходит и обратное. Так, предположим, что некий математик составил систему аксиом для теории множеств таким образом, что они позволяют описывать и описывали несчетные совокупности множеств. Нередко он обнаруживает счетную (перечислимую) совокупность множеств, удовлетворяющую всем аксиомам, и другие трансфинитные интерпретации, совершенно отличные от тех, которые он имел в виду, составляя свою систему аксиом. Более того, выяснилось, что каждая непротиворечивая система аксиом допускает счетную модель.

Иначе говоря, система аксиом, составленная для описания од- ного-единственного класса математических объектов, явно не соответствует своему назначению. Теорема Левенгейма — Сколема утверждает, что любая система аксиом допускает намного больше существенно различных интерпретаций, чем предполагалось при ее создании. Аксиомы не устанавливают пределов для интерпретаций, или моделей. Следовательно, математическую реальность невозможно однозначно включить в аксиоматические системы»125. Хорошо известна релятивистская интерпретация этой теоремы, принадлежащая самому Сколему, которая надолго утвердилась в качестве стандартной интерпретации в философии математики.

Перед тем как перейти к анализу собственно философских интерпретаций теоремы Левенгейма— Сколема, следует отметить некоторого рода скептицизм относительно возможности прийти к какому-то определенному заключению. Многие полагают, что уже сам предмет математики гарантирует необходимую для такого рода заключений убедительность. Одно время Б. Рассел разделял именно такую точку зрения: «Во всей философии математики, в которой есть не меньше сомнений, чем в любой другой части философии, порядок и определенность сменили путаницу и колебания, которые прежде царили здесь. Философы, правда, до сих пор не обнаружили этого факта и продолжают писать о предмете в прежнем стиле. Но математики... обладают такой трактовкой принципов математики, которая точна, и позволяет им определенность математики перенести также на математическую философию»127. Однако как покажет дальнейшее изложение вопроса, эта точка зрения вряд ли верна. Определенности нет вовсе, и разброс мнений тут просто огромен. Если одни склоняются к тому, что теорема Левенгейма — Сколема не имеет сама по себе независимого философского значения и безразлична к большинству философских позиций128, то другие основывают на теореме целое эпистемологическое направление с радикальными выводами относительно природы языка129.

В более технических терминах ситуация с парадоксом Сколема выглядит следующим образом. Из парадокса могут быть сделаны выводы о том, что:

А) поскольку первого порядка формализации теории множеств имеют счетные модели, они не могут выразить или «схватить» концепцию несчетного множества;

Б) поскольку невозможно «схватить» или выразить концепцию несчетного множества через аксиоматизацию первого порядка теории множеств, мы не обладаем такой концепцией.

Как известно, стандартная аксиоматика для теории множеств представлена системой Цермело — Френкеля, которая рассматривается как вполне удовлетворительная для чисто математических целей. Между тем философские интерпретации концепций, входящих в аксиоматику, встречаются с множеством неясностей и затруднений, которые порождают скепсис в отношении этих концепций.