Возможности и границы формализации (философский смысл теорем Гёделя, Тарского)

Давид Гильберт (1862-1943), основатель формалистической школы в математике, предполагал, что все наше знание, и прежде всего математическое, может быть полностью формализовано. Идеи Гильберта приняли многие талант- ливые математики, среди которых П. Бернайс (1888-1977), Дж. Гербрандт (19081931), В. Аккерман (1898-1962), Дж. фон Нейман (1903-1957).

Однако в 1931 г. Курт Гёдель241 в статье «О формально неразрешимых предложениях «Principia Mathematica» и родственных систем» доказал известную теорему о неполноте формализованной арифметики. Он доказал, что в системе «Principia Mathematica» и в любой другой формальной системе, способной выразить арифметику натуральных чисел, имеются неразрешимые (т. е. недоказуемые и вместе с тем неопровержимые в данной системе) предложения. Теорема Гёделя свидетельствует о том, что арифметика натуральных чисел включает содержание, которое не может быть выражено исключительно на основе логических правил образования и преобразования соответствующей формальной системы. Более того, формула логического исчисления, способного формализовать элементарную арифметику, недоказуема как формула, выражающая ее последовательность. Таким образом, непротиворечивости нельзя достичь, используя инструменты, принадлежащие к той же формальной системе. Это было настоящее поражение программы Гильберта.

Неполнота формализованных систем, содержащих арифметику, означает, что в содержательной математической теории всегда можно найти истинное предложение, которое нельзя доказать с помощью аксиом формальной теории, формализующей эту содержательную теорию. Кроме того, в более богатой формальной системе, к которой недоказуемое предложение присоединено в качестве аксиомы, его можно тривиально доказать, но тем не менее и в новой системе имеется возможность построить аналогичное недоказуемое предложение и, таким образом, всегда остается некий «неформализуемый остаток». Эта теорема показала невозможность дать в рамках формального построения основание всей как сегодняшней, так и будущей математике242.

Таким образом, Гёдель дал строго логическое обоснование невыполнимости идеи Р. Карнапа о создании единого, универсального, формализованного «физикалистского» языка науки. То есть из гёделевской теоремы «о неполноте» следует, что точная формализованная система, выступающая в качестве языка науки, не может считаться совершенно адекватной системе объектов, ибо некоторые содержательно истинные предложения не могут быть получены средствами данного формализма, а это значит, что формализация языка науки не снижает, а напротив, предполагает содержательные моменты в построении языковой системы.

Результаты работ Гёделя вызвали интенсивные исследования ограниченности формальных систем (работы А. Черча, С. Клини, Тарского и др.). Теоремы Альфреда Тарского (1902-1984) о неформализуемости понятия истины для достаточно богатых формализованных теорий выявили ограниченность дедуктивных и выразительных возможностей формализмов252. Тарский доказал внутреннюю ограниченность выразительных возможностей формализованных теорий - невозможность строго формальными методами передать все то познавательное содержание, которое выражается достаточно богатыми содержательными научными теориями, подвергшимися формализации. Таким образом, так называемые ограничительные теоремы Черча, Тарского и Гёделя убедительно показывают, что из состава математики и формальной логики нельзя исключить предложения, которые в силу определенных содержательных мотивов, нельзя не признать истинными, но которые тем не менее неразрешимы на основе правил построения соответствующих формальных систем.

В философском плане эти теоремы означали утверждение принципиальной невозможности полной формализации научного знания. Применение аксиоматических и формальных методов исследования имеет свои границы.