6. Принципы онтологического обоснования математики

Программы обоснования математики отличаются друг от друга об- основательной задачей (целью обосновательного исследования), выбором обосновательного слоя и приемлемой логикой.

Принципиальная недостаточность классических программ обоснования математики заключается прежде всего в отсутствии рациональных аргументов, определяющих границы обосновательного слоя. Ни одна из этих программ не сформулировала четких критериев для сферы1 непроблематичной математики, которая мигла бы быть положена в основу обосновательной редукции. Ссылки Фреге и Рассела на связь логики с универсалиями имели общий характер и не указывали» никаких критериев для выделения сферы надежной логики. Вся ставка была сделана на убедительность простых определений и процедур, которые, как предполагалось, должны были быстро привести к реализации общей идеи. То же самое относится и к методологическим установкам интуиционизма и формализма; Каждая программа выделяла свою сферу безусловной, надежности, которая подвергалась критике в других программах.

Теория онтологической истинности дает нам некоторый ориентир, позволяющий поставить выбор обосновательного слоя, на рациональную основу. С праксеологической точки зрения мы можем говорить об абсолютном обосновательном слое математики как о той ее части, которая обладает онтологической истинностью, принадлежит к форме мышления, а следовательно, является гарантированной1 в плане логической непротиворечивости. Мы не можем определить эту сферу математики посредством однозначных математических критериев, но мы можем обосновать принадлежность к ней исходных положений арифметики, геометрии, логики и теории множеств. Эта возможность открывает путь к обоснованию существенной части современного математического знапния.

Теория онтологической истины позволяет дать строгое обоснование надежности обосновательного слоя, принятого в существующих программах. Мы можем, в частности, привести систему доводов, оправдывающих надежность финитных и конструктивных рассуждений в сфере их действия. Это обстоятельство важно в том отношении, что оно устраняет доводы крайнего скептицизма, сторонники которого исключают возможность достижения полной надежности вообще (вследствие относительности любого доказательства и т.

Первые программы обоснования появились в борьбе с парадоксами бесконечности и их естественная методологическая установка состояла в том, чтобы обосновать бесконечность на основе конечного. Положение Гильберта, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только на основе конечного, легло в основу всех программ обоснования, сформулированных в начале XX века. Наиболее радикальным следствием онтологического анализа проблемы является отказ от этой установки. Мы берем за основу то положение, что разделение между непроблематичной'и проблематичной математикой проходит не по линии финитное — нефинитное, а по линии онтологически истинное и не обладающее онтологической истинностью. Мы, таким образом, определяем обосновательный.слой как сферу онтологически истинной математики, которая может содержать как финитные, так и нефинитные положения.

Праксеологическая теория логики устраняет дискуссию по поводу приемлемой логики обоснования. Она оправдывает тезис об абсолютной надежности всех принципов классической логики, определенных в сфере аподиктической очевидности.

Выделяя единую сферу онтологической истинной математики, мы фактически сливаем все существующие программы в одну, которая исходит из общей задачи редукции основных теорий математики к сфере онтологически истинной математики. Этот общий подход, основанный на выявлении онтологически истинной математики как единой базы редукции, мы будем называть онтологической программой обоснования математики в противовес программам, опирающимся на частные определения обосновательного слоя и логики.

Основной смысл подхода, основанного на понятии онтологической истинности, заключается, таким образом, в рационализации и расширении существующих обосновательных программ. Выбор обосновательного слоя, логических средств и самих целей обоснования не должен быть случайным. Программа обоснования математики должна быть обоснована в теории познания; она должна исходить из понимания специфики математического знания и природы математических идеализаций. От программ существенно догматических мы должны перейти к программам теоретическим (логико-гносеологическим), в которых доводы гносеологического порядка будут предшествовать собственно логическим построениям.