1. Необходимость онтологического обоснования

Программы обоснования математики, предложенные в начале XX века, существенно базировались на индуктивистском и номиналистском представлении о структуре математического знания. Конечному придавался значительно более высокий статус реальности и надежности, чем бесконечному.

Хотя на протяжении XX века проблема обоснования математики не была решена полностью, нельзя не признать, что было достигнуто существенное продвижение в понимании условий ее решения. Анализ аксиоматик выявил тот факт, что новые теории требуют постулатов, не сводимых к предшествующим понятиям, и которые, таким образом, должны приниматься в качестве первичных. Было понято, что логика недостаточна для обоснования принципов арифметики, а арифметика как таковая не может оправдать понятие бесконечного множества, необходимое для теории множеств. Эти и многие другие факты заставили признать, что индуктивистская идея построения математики «снизу вверх» и «от конечного к бесконечному» не соответствует действительной логике обоснования математического знания.

Выход из этого положения в общем плане был намечен К. Гёделем. Он заключается в том, чтобы признать существование абстрактных понятий, данных в интуиции, в качестве самостоятельных сущностей, соответствующих математической реальности.

В статье «Расселовская математическая логика» Гёдель писал: «... Нужно взять более консервативный курс, такой, который бы состоял в том, чтобы сделать значение термина «класс» и «концепт» более ясными и построить непротиворечивую теорию классов и концептов как объективно данных сущностей»66. Эта идея высказывается Гёделем также в статье «Что такое канторовская континуум гипотеза» (1947): «Для тех, кто рассматривает математические объекты как существующие независимо от операций нашего конструирования и нашего интуитивного осознания их как индивидуальных, кто требует только того, чтобы общие математические понятия были в достаточной степени ясны для нас, чтобы признать их осмысленность и истинность аксиом, связанных с ними, существует, я верю, достатанные основания для признания канторовской теории множеств в ее полном объеме и значении»67. Гёдель исходит из допущения, что человеческий интеллект наряду с конкретными свойствами математических объектов схватывает и относящиеся к ним абстрактные качества, не сводимые к этим конкретным свойствам. Абстрактные математические понятия отражают, по Гёделю, аспекты объективной реальности, но иные, чем те, которые даются посредством ощущений. Они обязаны своим существованием в нашем сознании другому роду отношений между нами и реальностью, чем тот который определяется ОПЫТОМ68.

Эти идеи Гёделя не получили признания в качестве методологически значимых. Основная причина состоит в их недостаточной определенности. Они не содержат критериев реальности и не позволяют решить вопрос, какие из очевидных аксиом теории множеств следует принять в качестве непосредственно истинных, а какие являются сомнительными в этом отношении. В своей общей формулировке идеи Гёделя могут быть поняты как отказ от строгого анализа оснований и возвращение к обычной манере изложения математических теорий, сориентированной на убедительность непосредственного восприятия предпосылок и выводов. Их можно понять и как защиту математического эмпиризма, поскольку они основаны на аналогии между математическим и физическим существованием, а также между математической интуицией и чувственным восприятием.

Разумеется, гёделевская идея не имеет никакого отношения к эмпиризму и релятивизму, а нацелена на выявление полного и предельно надежного основания математики. В настоящее время становится все более ясным, что несмотря на свою неопределенность эта концепция должна рассматриваться как указывающая необходимое направление мышления. Концепция Гёделя исходит из понимания реальности и истинности математических утверждений, ее ведущим мотивом является антииндуктивизм, убеждение в том, что математика не может быть построена на узкой основе понятий, которые выделены в качестве исходных в существующих программах обоснования математики.

Теория онтологической истинности дает нам основу для прояснения и уточнения этой идеи.

Реальность математической абстракции должна пониматься как ее онтологическая означенность, как внедренность ее в предметную онтологию, порожденную деятельностной ориентацией мышления. 2.

Онтологическая истинность математических понятий и принципов является гарантией их абсолютной непротиворечивости в отношении друг к другу. 3.

Возможно рациональное обоснование принадлежности конкретных математических принципов к сфере онтологической истинности.

Обоснование этих принципов устраняет неопределенность гёделев- ской установки. Теория онтологической истины позволяет нам обосновать в качестве истинных принципы классической логики, включая закон исключенного третьего, исходные аксиомы арифметики и евклидовой геометрии и, наконец, трансфинитные утверждения, такие, как аксиома бесконечности и аксиома выбора. Анализ онтологического основания математики позволяет понять математическую бесконечность как особую сущность, как необходимое представление предметной онтологии и, таким образом, как представление столь же базовое для математического мышления, как и понятие натурального числа. Мы поняли тот факт, что трансфинитные принципы не обосновываются на основе финитных, а утверждаются в своей надежности на основе собственного онтологического основания. Понимание совместности онтологических истин позволяет указать пути рационального расширения традиционных программ обоснования и распространения их На сферу анализа и теории множеств.

Последовательное обоснование этой позиции приводит к пониманию того факта, что всякая логическая программа обоснования ма- тематики является по своей сути онтологической, ибо она нуждается в оправдании некоторой системы исходных принципов в качестве непосредственно истинной. В логическом обосновании математики мы должны уйти как от тесного финитизма, так и от неконтролируемой интуитивности, ведущей к противоречиям. Единственным ориентиром, указывающим границы допустимого отступления от финитности, является здесь понятие онтологической истинности.

С этой точки зрения мы должны считать совершенно несостоятельными вое призывы к очищению математики от онтологии как от некоторого рода метафизики. Антионтологизм в философии математики идет .прежде всего от конвенционализма, который понимает математическую реальность как только гипостазирование смыслов, вырабатываемых -в рамках формальных структур. Он органически присущ интуиционизму, который мыслит математические объекты как только мысленные конструкции, приемлемые в плане той или другой задачи. Деятельностная теория познания рассматривает математические предметы не как отражение предметов опыта и не как изобретения интеллекта, а как экспликацию предметных представлений, относящихся к универсальной форме мышления. Это значит, что онтология, предполагаемая математикой, — не произвольное построение, которое может быть изменено следующим поколением математиков, а система вневременных интуиций, лежащих в основе человеческого мышления. Достаточно ясно, что отказ от понятия онтологической истинности был бы разрушением всех разумных путей к обоснованию математики69.

Принципиальным моментом гёделевской позиции является тезис о существовании единственной истинной арифметики и единственной истинной теории множеств. Выявление истинных математических теорий дает нам ключ к обоснованию математики в целом, ибо онтологически истинные теории должны быть признаны в качестве абсолютно непротиворечивых. Существование единственной онтологически истинной арифметики, конечно, не противоречит возможности иных арифметик, обладающих логической непротиворечивостью.

Неудача попыток логического обоснования математики привела к возрождению эмпирической философии, к идее математики как некоторого рода абстрактной физики, которая не гарантирована от корректировки и пересмотра своих основ.

Это, конечно, ложное направление мысли. Математика — не физика и не система соглашений, допускающая изменение под влиянием внешних обстоятельств. Выявление несостоятельности логических подходов должно, в действительности, привести нас не к эмпиризму, а к онтологии, к пониманию особой связи математических теорий с категориальной картиной мира.