2. Сущностный характер евклидианского обоснования

Лакатос выделил три типа обоснования теории: евклидианское, ин^ дуктивистское и эмпирицистское70. Суть евклидианского обоснования состоит в том, что истина входит здесь в исходные принципы теории и течет «вниз», к более конкретным утверждениям по дедуктивным каналам передачи истинности.

Лакатос был убежден в том, что схема евклидианского обоснования не соответствует логике развития современной науки. Поиски чистого евклидианского обоснования любой науки, в том числе и математики, по его мнению, должны быть оставлены, как покоящиеся на заблуждениях априоризма. Полное обоснование на основе несомненно истинных принципов, с этой точки зрения, не более чем некий идеал, на который ориентируется мышление, но которого оно никогда не достигает в реальной практике обоснования. Лакатос исключает также и возможность индуктивного обоснования математической теории, опирающегося на бесспорные единичные факты (сингулярные суждения). Законы логики запрещают, по его мнению, движение истины «снизу вверх», от фактов к принципам.

Истинное обоснование научного знания, по Лакатосу, — это эмпирицистское или гипотетико-дедуктивное обоснование, которое не допускает вхождения абсолютной истины в теорию ни сверху, ни снизу, которое рассматривает ее относительной на всех уровнях и перемещает внимание с вопроса: «Каким образом мы знаем истину?» на вопрос: «Каким образом мы улучшаем догадки?». Лакатос убежден, что эта схема обоснования относится и к математике, с тем лишь изменением, что речь здесь идет о фактах существенно иной природы71.

Система рассуждений Лакатоса направлена на то, чтобы доказать нереализуемость идеала безупречного логического обоснования математики и тщетность всех попыток выделить математику из системы остальных наук как строгую и абсолютно обоснованную науку. Для всякого знания, по Лакатосу, всегда остается истинным то положение, что основания не могут быть обоснованы и прогресс обоснования имеет смысл лишь как улучшение имеющихся оснований.

Теория онтологической истинности, очевидно, отвергает логику рассуждений и выводы Лакатоса. Праксеологический анализ показывает, что мы вправе говорить об абсолютно строгих доказательствах и безусловно истинных посылках, лежащих в основе математического мышления.

Эмпирицистская (гипотетико-дедуктивная) и евклидианская схемы обоснования не должны противопоставляться друг другу, ибо они выражают, в действительности, не исторические стадии в развитии идеи обоснования, как это склонен был думать Лакатос, а взаимодополнительные типы обоснования, соответствующие различным типам научного знания. Обоснование математического знания, в действительности, может быть только редукцией к аподиктической очевидности. По своей сути оно может быть только евклидианским, так как оно должно ориентироваться на абсолютный фундамент, выявляемый в аподиктической очевидности.

Истины логики и собственно математические истины, связанные с предметной онтологией, составляют два глубинных корня математического мышления, определяющие содержание первичных математических теорий и метод математического мышления в целом. Оба этих типа истины обусловлены деятельностной ориентацией мышления и представляют собой инвариантную и незыблемую основу человеческого мышления вообще. Прояснение этих положений открывает путь к оправданию евклидианского обоснования как сущностного для математической науки. С этой точки зрения, мы должны признать, что выдающиеся математики, наметившие программы обоснования, находились, в принципе, на правильном пути, ибо вопреки всякому скептицизму они стремились выявить незыблемую и некорректируемую основу математического мышления, которая была бы достаточной для оправдания всего значимого содержания математики. Существование сферы такого рода необходимых истин не вызывало у них никаких сомнений. Истоки этой веры, очевидно, проистекали из самой практики математического мышления, в которой каждое доказательство представляет собой редукцию сложных истин к более простым и, в конечном итоге, к истинам, не подвергаемым сомнению.

Теория онтологической истины оправдывает эту веру. Недостаток традиционных программ обоснования математики состоял не в их ев- клидианском характере и не в претензии их на абсолютность, а лишь в отсутствии теории оправдания абсолютности, присущей математическому мышлению по его природе.