3. О надежности геометрической очевидности

Внимательное рассмотрение проблемы показывает, однако, что принижение обосновательного статуса геометрической очевидности, присутствующее до сих пор в философии математики и в математической практике, не является оправданным. Конечно, современная математика далеко вышла за пределы геометрической наглядности и исследует большое число объектов, далеких от возможностей обычного пространственного представления. Мы не можем наглядно представить непрерывную функцию, не имеющую производной, кривую, целиком заполняющую квадрат, или способ рассечения шара на части, из которых можно составить два равновеликих ему шара, и множество других объектов, исследуемых в современной математике. Именно на такого рода факты указывают те математики и философы, которые говорят о крахе интуиции в современной математике6.

Факт уменьшения сферы геометрической наглядности в современной математике не подлежит сомнению. Сама геометрия далеко вышла за границы обычной наглядности, и нетрудно понять, что процесс расширения математики за счет абстрактных объектов вполне закономерен и не может быть обращен вспять. Но здесь необходимо разделить разные вещи. Когда мы ставим вопрос о надежности геометрической очевидности, то нас интересует не то, как широка сфера ее использования, а лишь то, является ли эта очевидность там, где она фактически используется, достаточно надежной. Иными словами, нас интересует не вопрос об универсальности геометрической очевидности (этот вопрос разрешается однозначно и отрицательно), а вопрос о ее надежности, т. е. вопрос о том, является ли она надежной в сфе- ре своего фактического применения. На вопрос, поставленный таким образом, мы имеем все основания ответить утвердительно.

Для уяснения сути дела рассмотрим процесс вычисления поверхности фигуры, которая известна как цилиндр Шварца. Если цилиндр высотой Н разделить на п горизонтальных слоев и в основания каждого из слоев вписать к-угольник, то ребра, соединяющие соседние вершины многоугольников, образуют многогранную поверхность, вписанную в боковую поверхность цилиндра, состоящую из 2пк равных треугольников. Геометрическая интуиция подсказывает нам, что при неограниченном увеличении п и к (числа слоев, на которые разделен цилиндр, и числа сторон многоугольника, вписанного в основание слоя) площадь многогранной поверхности будет приближаться к площади боковой поверхности цилиндра. Простой расчет показывает, однако, что величина этого предела зависит от относительной скорости изменения п и к и, вообще говоря, может быть как угодно большой. Несостоятельность геометрической очевидности, как кажется, оказывается более чем убедительной7.

В действительности, однако, никакого опровержения геометрической очевидности в данном случае не происходит. Прежде всего обратим внимание на следующий момент: при вычислении действительного предела многогранной поверхности, вписанной в цилиндр, мы должны неизбежно исходить из того факта, что эта поверхность состоит именно из 2пк граней и что площадь каждой грани равна половине произведения ее основания на высоту, т. е. из фактов школьной геометрии, обоснованных в рамках геометрической очевидности. Получается, что некорректность одной геометрической очевидности обнаруживается только на основе других очевидностей того же рода. Но это значит, что по крайней мере некоторая совокупность геометрических очевидностей должна быть признана как имеющая безусловный характер.

Главное, однако, состоит в следующем. Когда мы в рассматриваемом случае интуитивно заключаем, что площадь многогранной поверхности при увеличении числа ее граней имеет своим пределом поверхность цилиндра, то мы опираемся не на геометрический чертеж, относящийся к данному случаю, и не на тривиальные очевидности, зафиксированные в аксиомах геометрии, а исключительно на аналогию с некоторыми известными геометрическими фактами. Наша первоначальная гипотеза, в действительности, поддерживается следующим соображением: «Если периметр вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон стремится к длине окружности как к своему пределу, то естественно предположить, что площадь вписанной многогранной поверхности при неограниченном увеличении числа ее граней стремится к площади боковой поверхности цилиндра». Но это не заключение на основе непосредственной геометрической очевидности, а заключение по аналогии, и, таким образом, мы можем говорить здесь лишь о ненадежности индуктивной гипотезы, неявно внедренной в исходное геометрическое рассуждение.

Рассмотрение примеров, которые обычно приводятся против геометрической очевидности, показывает, что все они основаны на смешении геометрической очевидности как непосредственного осуществления и созерцания геометрических конструкций с заключениями по аналогии или с индуктивными гипотезами относительно этих объектов.

Тенденция к освобождению начал анализа от геометрической очевидности, которая наметилась в XVIII веке, сама по себе вполне законна. Объективно она была направлена на то, чтобы сузить до минимума интуитивное основание анализа как определенной математической дисциплины. Однако эта тенденция была ошибочно истолкована математиками и философами как освобождение математики от эмпирической наглядности, приводящей к заблуждениям. В основе этого истолкования лежало ошибочное представление о геометрии как опытной науке, как о науке, родственной механике, связанной с исследованием пространства как объекта, данного в опыте.

Противопоставляя геометрическую наглядность и аналитическое обоснование в качестве примера, Больцано рассматривал утверждение: «Если непрерывная функция при некоторых значениях аргумента А и В принимает значения, имеющие разные знаки, то существует значение аргумента равное С, при котором она равна нулю». Он считал, что хотя это положение убедительно геометрически, геометрическое его обоснование не может рассматриваться в качестве приемлемого. Теоремы о свойствах функций должны быть выведены, согласно

Больцано, только из чисто аналитического определения этих функций. Основная его идея, конечно, имеет методологический смысл и историческое оправдание. Однако убеждение в том, что опора на геометрию в анализе столь же ненадежна, как и опора на механику, ошибочно. Геометрическая очевидность — не очевидность механики: она, в действительности, не менее интеллектуальна, не менее авторитарна, чем очевидность арифметики и не менее обязательна для математики, чем последняя. Если бы Больцано строго аналитически доказал, что непрерывная функция, удовлетворяющая указанным условиям, может в некоторых случаях не иметь значения, равного нулю, то этим бы было доказано собственно, что определения анализа не соответствуют данной в интуиции непрерывности пространства, и анализ, несомненно, был бы перестроен в сторону такого соответствия. Самоочевидная геометрическая истина, заключенная в теореме Больцано-Коши, в принципе не может быть устранена из математики на основе каких-либо логических доводов. Но это значит, что ее геометрическое обоснование является не менее надежным, чем обоснование аналитическое.

Столь же несостоятелен и аргумент Брауэра. Тот факт, что наглядность евклидовой геометрии не распространяется на другие геометрические системы, не говорит о ненадежности этой очевидности в рамках самой евклидовой геометрии и о недостаточности ее для обоснования этой геометрии. Следуя своей логике, Брауэр должен был бы поставить под сомнение и обычную арифметическую очевидность, ибо существуют нестандартные арифметические системы, в которых она неприемлема.

Более адекватный взгляд на геометрическую очевидность был сформулирован Г. Фреге в его последних работах. Основную идею Фреге можно выразить в следующих двух тезисах: 1.

Геометрическая очевидность, также как и арифметическая, не содержит в себе никакого чувственного компонента и, вследствие этого, является чисто интеллектуальной, собственно математической и абсолютно надежной. 2.

Геометрическая очевидность является более широкой, чем арифметическая, ибо она является источником идеи математической бесконечности. Вследствие этого, ее следует рассматривать в качестве базы содержательной унификации математического мышления в целом8.

На данном этапе нам достаточно принять первый тезис Фреге, а именно, твердо установить то положение, что геометрическая очевидность является не менее надежной, чем очевидность арифметическая, предметная или логическая. Необходимо признать, что принижение геометрической очевидности в ее надежности и обосновательной роли является одним из самых тяжелых заблуждений философии ма- тематики на протяжении последних двух столетий. Первейшая задача современной философии математики состоит в устранении этого предрассудка. Разумеется, это может быть сделано только на основе общего анализа природы аподиктической очевидности и ее места в структуре человеческого мышления.

4.