Парадокс лжеца

Популярный вариант парадокса таков. Допустим, некто говорит, что он лжет. Что он утверждает на самом деле — истину или ложь? Если допустить, что он говорит истину, тогда то, что он утверждает, истинно, и следовательно, он лжет.

Пусть U обозначает непустое подмножество множества всех высказываний JIB. Тогда некоторые высказывания U истинны (Т), остальные ложны (F). Среди ложных высказываний некоторые амбивалентны, т. е. истинны и ложны одновременно (А), остальные нет. Существование амбивалентных высказываний говорит о том, что область пересечения истинных и ложных высказываний не пуста. Справедливость этого утверждения следует из того наблюдения, что ложные высказывания могут иметь истинные следствия. Следовательно, справедливо U— Т v F v А.

Яусть С обозначает высказывание JIB, не являющееся логической истиной и ложью. Пусть высказывание В является референтом (носителем) истины высказывания С. Мы будем говорить, что высказывание С истинно, что будет обозначаться как Т (С), если и только если С и референт его истины В оба являются элементами одного и того же (эквивалентного) класса:

Т (С) = (CdS)&(-.С З ->5). (1)

Из (I) следует, что истина рефлексивна (выполняется Т(С) з Т(С)), симметрична (истинна как прямая импликации Т(С) з Т(С), так и ей обратная Т(С) с Т(С)) и транзитивна (всегда передается отношением импликации). Значит, истина определяет отношение эквивалентности, именно разбивает непустой универсум V на два взаимно исключающих и совместно исчерпывающих класса, называемых классами эквивалентности. Каждый такой класс характеризуется тем, что любые два элемента, принадлежащие одному и тому же классу, совместимы друг с другом, взаимно поддерживают друг друга, но любые два элемента, принадлежащие разным классам, таким свойством не обладают.

Ложь не образует эквивалентного класса. Хотя она и симметрична, однако не рефлексивна и не транзитивна. Характерным свойством лжи является то, что рассматриваемое высказывание и референт его истины принадлежат к разным и, значит, несовместимым эквивалентным классам. Значит, если высказывание С ложно, то это означает, что оно оказывает поддержку отрицанию референта истины Я, а В — логическому отрицанию высказывания С. Мы будем говорить, что высказывание С ЛВ ложно, что будет обозначаться как F(Q, если и только если С и референт его истины В являются элементами разных эквивалентных классов: (2)

F (Q = (Cd^5)&MDC). Как и ложь, амбивалентность также не образует эквивалентного класса. Отношение амбивалентности симметрично и транзитивно, но не рефлексивно. Его характерным свойством является одновременная принадлежность высказывания С каждому из эквивалентных классов. Мы будем говорить, что высказывание С ЛВ амбивалентно, что будет обозначаться как А (С), если и только если С и референт его истины В одновременно принадлежат разным эквивалентным классам: (3)

A(Q = T(Q&F(0. Допустим теперь, что высказывание С само выступает в роли референта своей собственной истинности, т. е. С = Тогда (1) и (2) трансформируются в следующие самореференциальные утверждения соответственно:

Т(С) = (С =э С) & (-.С з -.С) = = (TdT)&(FD F);

A(Q = (С з & (-С => С) =

= (Т z> F) & (F => Т). (5)

Согласно (4) каждое из противоречащих друг другу высказываний С и -IС является своим собственным следствием в своем эквивалентном классе. Значит, каждое из них совместимо только с самим собой и только себе оказывает поддержку. Подобную самореференцию можно назвать позитивной, сохраняющей истинность высказывания С. Ее основным свойством является поддержка высказыванием С самого себя независимо от того, истинно оно или ложно. <

Согласно (5) как С, так и -iC принадлежат обоим эквивалентным классам сразу и тем самым каждое из них истинно и ложно одновременно и, значит, амбивалентно..

Высказывания, эквивалентные (5), получили название парадокса лжеца. Подобные высказывания нарушают требование непротиворечивости ЛВ и являются тем самым парадоксальными. Среди множества предложенных решений выделяются следующие два.

Согласно Б. Расселу и А. Таре кому125, парадокс лжеца должен исключаться синтаксически — посредством запрета на применение предиката «ложь» к высказыванию (языку) того же семантического уровня, что и сам предикат. Например, Тарский, чтобы парадокс лжеца не возник в языке Ln уровня и > 0, предложил применять предикат F„ только к языку уровня ?„_ь Всякое применение предиката F„ к языку L„ заранее исключается как неправильно построенная формула. Однако подобная элиминация вводит бессмысленную бесконечную иерархию предложений (языков) и, кроме того, исключает вместе с парадоксом лжеца и свойство самореференции высказываний.

По мнению А. Гупты и X. Херцбергера, высказывание лжеца может быть и истинным и ложным, но не одновременно, а только периодически126. Позже было показано, что такое допущение равносильно оценке высказывания лжеца как семантически нейтрального утверждения127. Но существование не истинных и не ложных высказываний противоречит допущению бивалентности JIB.

Таким образом, ни одно из рассмотренных предложений не решает парадокс лжеца принципиально и конструктивно, без нарушения основных требований JIB. Означает ли это, что парадокс лжеца вообще не разрешим в терминах основных допущений ЛВ?

Во-первых, следует отвергнуть семантическую нейтральность высказывания лжеца. Определение амбивалентности (5) представляет частный случай определения ложности (2). Значит, верно:

(((TdF)&(FDT))DF).

Откуда следует, что множество амбивалентных высказываний — это прежде всего подмножество логически ложных и тем самым просто ложных высказываний. Следовательно, высказывание лжеца — пример ложного, но никак не нейтрального высказывания. «Я лгу» означает только то, что я отрицаю, что сам утверждаю (то, что я лгу), и ничего более. Значит, утверждая «Я лгу», я утверждаю обычное противоречие, т. е. логическую ложь и тем самым просто ложь. Если сказать, что высказывание лжеца истинно, т. е. если утверждать Т(Л), то это означает подтвердить, что то, что оно утверждает, представляет противоречие: Т(А) ~ А. Если сказать, что высказывание лжеца ложно, т. е. утверждать ?(А), то это означает опровергнуть, что то, что оно утверждает противоречие, т. е. подтвердить, что оно выражает логическую истину: F(y4) = Т v F = Т. Следовательно, все высказывания ЛВ, эквивалентные высказыванию лжеца, являются логически ложными утверждениями, образующими область пересечения истины и лжи, и их существование не противоречит допущению бивалентности ЛВ.

Во-вторых, следует отказаться от идеи Рассела и Тарского об исключении свойства самореференции как синтаксической причины высказываний лжеца. Лишить ЛВ этого свойства означает потерять всякую возможность конструктивного обсуждения проблемы истины. Быть истинным означает находиться в позитивной самореференции (не противоречить самому себе); быть ложным — в негативной (противоречить самому себе). Устранить позитивную самореференцию означает лишить ЛВ статуса непротиворечивой теории, устранить негативную самореференцию — лишить ее возможности контролировать выполнение требования непротиворечивости. •