Основные законы логики предикатов

Закон удаления квантора общности

Общее правило, истинное для каждого ? должно быть истинно и для отдельного случая а, являющегося элементом расширения формулы Если истинно высказывание «Все вещи универсума круглые», то должно быть истинно высказывание «Вещь по имени а, принадлежащая универсуму, является круглой»:

Закон введения квантора существования

То, что истинно для отдельного случая а, являющегося элементом расширения формулы должно быть истинно в качестве произвольного примера подстановки предметной переменной ? формулы ф?. Из истинности высказывания «Вещь а, принадлежащая универсуму, является круглой» следует истинность высказывания «Существует такая ? что истинно „? — круглая"»:

Закон подчинения кванторов

Из истинности универсально квантифицированнош высказывания следует истинность экзистенциально квантифицированного высказывания; из ложности экзистенциально квантифицированного высказывания следует ложность универсально квантифицированного высказывания:

Закон противоречия

Противоречащие друг другу высказывания не могут быть вместе ни истинны, ни ложны:

Закон непустоты универсума логического квадрата

В универсуме логического квадрата должна существовать хотя бы одна вещь, выполняющая формулу ф% или ее отрицание —іф% (или и то и другое):

Законы взаимоопределимости кванторов

Каждый квантор может быть определен в терминах противоположного ему квантора: Законы дистрибутивности кванторов

относительно знака конъюнкции

Квантор общности дистрибутивен относительно знака конъюнкции без ограничений:

Квантор существования дистрибутивен относительно знака конъюнкции с ограничением:

НШФЄ& <р4) => т<р&

Законы дистрибутивности кванторов

относительно знака дизъюнкции

Квантор общности дистрибутивен относительно знака дизъюнкции с ограничением:

Квантор существования дистрибутивен относительно знака дизъюнкции без ограничений:

Законы дистрибутивности кванторов

относительно знака импликации

Из высказывания «Для каждого числа, если оно — четное, то оно — целое» выводимо высказывание «Если каждое число четное, то каждое число целое».

Из высказывания «Если существует четное число, то существует целое число» выводимо высказывание «Существует такое число, что если оно четное, то оно целое». Но обратная выводимость в общем неверна:

I- [(??#=> (Е$<РЗ З <Р&

Из высказывания «Существует такое число, что если оно четное, то оно целое» выводимо высказывание «Если каждое число четное, то существует целое число». Но обратная выводимость в общем неверна:

I- гё) з

Из высказывания «Если существует четное число, то все числа целые» выводимо высказывание «Для каждого числа, если оно — четное, то оно — целое». Но обратная выводимость в общем неверна:

Из сказанного следует, что кванторы общности и существования дистрибутивны относительно знака импликации лишь с ограничением.

Законы перестановки кванторов

Кванторы общности и существования могут переставляться в любом порядке, если они предшествуют формуле однородно, т. е. либо только кванторы общности, либо только кванторы существования. В противном случае имеет место ограничение: независимый квантор существования может свободно вводиться в область действия квантора общности, но не может из нее свободно выводиться.