25. СЕМЬ ПАРАДОКСОВ

В

этой главе приведены семь наиболее известных, увлекательных и раздражающих парадоксов. Все примеры в этой главе имеют вид как будто бы правдоподобных рассуждений, приводящих к очевидно неприемлемым заключениям.

Вы можете сами попытаться найти решения этих семи парадоксов. Но предупреждаю: величайшие умы мира бились над этим и потерпели неудачу. Согласно преданию, первый из наших парадоксов был причиной ранней смерти Филита Косского.

Многие читатели сочтут мои семь парадоксов забавными шутками. У других может возникнуть желание глубже познакомиться с ними. Для этой второй группы читателей я в конце главы добавил некоторые дальнейшие указания и комментарии.

Парадокс 1: истину или ложь высказывает человек?

Однажды путешественник шел по дороге и встретил старика, покуривающего трубку, сидя на обочине.

«Первое, что скажет тебе первый встреченный тобой сегодня человек, не будет истиной, — сказал старик. — Доверься мне: не верь тому, что он скажет!»

«О'кей, — ответил путешественник. — Однако постой, ведь ты и есть первый человек, которого я сегодня встретил!»

«Вот именно», — сказал старик.

340

Вы можете заметить здесь некоторую странность. Если старик высказал истину, то первое высказанное им не является истиной. Но если первое высказанное им не является истиной, то первое высказанное им — истина.

Это один из вариантов знаменитого «парадокса лжеца», сформулированного в Древней Греции свыше 2000 лет назад.

Путешественнику кажется, что он нашел способ избежать парадокса: можно считать, что первое высказанное стариком предложение не является ни истинным, ни ложным. В конце концов, почему каждое такое предложение обязательно должно быть истинным или не истинным?

«Ты пытаешься обмануть меня, старик, — говорит путешественник. — То, что ты сказал, очевидно ни истинно, ни не истинно».

«Ага, — отвечает старик. — Ты предполагаешь, что не истинно то, что я сказал истинно, и не истинно то, что я сказал не истинно?»

«Совершенно верно», — говорит путешественник.

«Очень хорошо. Но тогда если не истинно, что я сказал истинно, то тогда то, что я сказал, не является истинным!»

Путешественник задумался. А старик тем временем продолжал: «Если же не истинно то, что я сказал не истинно, тогда то, что я сказал, истинно, ибо я как раз и сказал, что то, что я сказал, не истинно!»

В голове путешественника все смешалось. Его душил дым, исходящий из трубки старика.

«Теперь ты видишь, — говорил старик, — что твое предположение ошибочно: не является истинным, что то, что я сказал, ни истинно, ни не истинно. На самом деле это и истинно, и не истинно!»

с

Но ведь это невозможно, не так ли?

Парадокс 2: парадокс сорита

Здесь приведены два варианта этого древнего парадокса.

341

Песочница Дженни

Дженни приводит в порядок свою песочницу, Джим наблюдает за ней.

«Ты знаешь, муравьи крадут у тебя песок».

Дженни смотрит на цепочку муравьев. Каждый из них хватает одну песчинку из кучки песка и бежит вон из сада.

Дженни не слишком этим обеспокоена.

«Им никогда не перетаскать всю эту кучу», — говорит она.

«Почему же? Если они будут уносить песчинку за песчинкой, то в конце концов когда-то может остаться всего одна песчинка. Это может занять несколько недель, но когда-нибудь в твоей песочнице останется всего одна песчинка. Тогда у тебя не будет кучи песка, не так ли?»

Дженни чешет затылок.

«Но послушай, если из кучи взять одну песчинку, то куча ведь останется, так?»

«Конечно, останется, — отвечает Джим. — Если у меня 1000 песчлнок, например, и я забираю одну песчинку, оставляя 999, то куча все равно остается. Правильно?»

«Правильно, — говорит Дженни. — Но тогда сколько бы песчинок ни утащили муравьи, им никогда не удастся утащить всю кучу».

Джим выглядит смущенным.

«Но если это так, то даже одна песчинка является кучей!»

«Совершенно верно, — соглашается Дженни. — На самом деле даже ни одной песчинки будет кучей!»

Но ведь безусловно ложно, что если нет ни одной песчинки, то все-таки есть куча. Так где же ошибается Дженни?

Лысина Боба

Боб печально смотрится в зеркало в ванной, пытаясь с помощью карманного зеркальца рассмотреть свою макушку.

«Вот и еще один волос выпал», — огорченно произносит он.

«Да не беспокойся ты, — отвечает Сара. — Ты же не можешь стать лысым только оттого, что потерял один волос, так ведь?»

342

«Думаю, что так», — откликается Боб.

«Ты же еще не лысый?» — спрашивает Сара.

«Думаю, что нет. Но постой-ка! Если ты права, то не важно, сколько волос я потеряю. Я никогда не стану лысым!»

«Ну, этого я не говорила!»

«Но это же следует из того, что ты сказала. Допустим, у меня на голове сейчас миллион волос, и я не лысый. Если ты права и потеря одного волоса не сделает меня лысым, то я могу потерять один волос и не стану лысым. Потеряю еще один волос и все равно не стану лысым. Затем — еще один, и я все еще не лысый. И так далее—до тех пор, пока у меня на голове вообще не останется ни одного волоса. Но я все еще не лысый! Однако же ясно, что я стану лысым! Отсюда следует, что твое утверждение о том, что потеря одного волоса еще не делает меня лысым, ложно!»

«Ты с ума сошел!»

«Такова логика. На самом деле должен существовать момент, когда потеря одного-единственного волоса нелысого человека делает лысым!»

«Но это же абсурд. Нет точной границы, отделяющей лысого человека от нелысого».

«Но она должна быть!»

«Хорошо, скажи тогда, сколько же нужно иметь на голове волос, чтобы не считаться лысым?»

«Не знаю. Может быть, 10 027. Может быть, 799. Но такое число должно существовать».

«Это просто глупость».

«Нет, это должно быть истинно. И, быть может, как раз тот волос, который сейчас упал с моей головы, и сделал меня лысым!»

Парадокс 3: хвастливый цирюльник

Луиджи, цирюльник из Севильи, горделиво хвастался своими успехами.

343

«Ты знаешь, я — тот человек, который бреет всех и только тех жителей Севильи, которые не бреются сами!»

«Я тебе не верю», — отвечал Франко.

«Почему же?»

«Вот почему. Ты сам-то бреешься? Если бреешься, то из того, что ты сказал, следует, что ты себя не бреешь. Ты же сказал, что бреешь всех и только тех жителей, которые не бреются сами. Верно?»

«Верно, верно. Но что, если я скажу, что сам не бреюсь — это делает за меня моя жена?»

«Но если ты сам не бреешься, значит, сам себя бреешь. Ты же сказал, что бреешь всех, кто не бреется сам. Так ведь?»

«Да, пожалуй, что так».

Так бреет Луиджи тех, кто сам не бреется, или нет?

Парадокс 4: Ахиллес и черепаха

Ахиллес мчится на мощном мотоцикле. Черепаха едет на маленьком мопеде. Они решили устроить соревнование. Но поскольку мотоцикл Ахиллеса гораздо быстрее мопеда черепахи, Ахиллес дает ей фору — она начинает движение, будучи на некотором расстоянии впереди него.

А

Ахиллес стартует в точке А. Черепаха стартует в точке В. Пока Ахиллес доедет до точки В, черепаха продвинется до точки С. Когда Ахиллес достигнет точки С, черепаха доедет до точки Д. Всякий раз, когда Ахиллес достигает той точки, где была черепаха, она успевает переместиться в другую, более далекую точку. Таким образом, Ахиллесу нужно преодо-

344

леть бесконечное число промежутков, отделяющих его от черепахи. Но преодолеть бесконечного количества отрезков он не может, в этой последовательности нет последнего отрезка. Поэтому Ахиллес никогда не догонит черепаху. Конечно, он ее догонит. Но как?

Парадокс 5: вороны

Плак расспрашивает представителя науки Бриди о том, чем занимаются ученые.

Плак: Как действует наука?

Бриди: Ну, ученые создают теории, которые затем подтверждают наблюдениями.

Плак: Приведи мне какой-нибудь пример.

Бриди: Хорошо. Возьмем общее утверждение о том, что все вороны черные. Все обобщения подтверждаются их конкретными частными случаями. Так, например, наблюдение какого-то черного ворона, будучи частным случаем общего утверждения о том, что вороны черные, подтверждает это общее утверждение. Каждый черный ворон подтверждает в какой-то степени гипотезу о том, что все вороны являются черными.

Плак: Понимаю, понимаю. Но скажи, верно ли, что если две гипотезы логически эквивалентны, то все, что подтверждает одну гипотезу, должно подтверждать также и другую гипотезу?

Бриди: Это должно быть верно. Логически эквивалентные гипотезы фактически представляют собой лишь два разных способа сказать одно и то же. Поэтому все, что подтверждает одну такую гипотезу, должно подтверждать и другую.

Плак: Совершенно верно. Но гипотеза «Все вороны черные» логически эквивалентна гипотезе «Все не-черные предметы являются не-во-ронами».

Бриди: Конечно.

Плак: В таком случае если все обобщения подтверждаются своими примерами, то не-черные не-вороны подтверждают утверждение о том, что все не-черные предметы являются не-воронами, верно?

345

Бриди: Плак:

Бриди: Плак:

Бриди: Плак:

Верно.

Но тогда не-черные не-вороны подтверждают, что все вороны черные, так? Пожалуй, так.

Поэтому и белые ботинки, и красные маки, и голубые небеса, будучи не-черными не-воронами, подтверждают гипотезу «Все вороны черные».

Но это же абсурд!

Однако это вытекает из того, с чем ты согласилась раньше. Даже вот эта башня из розового мороженого подтверждает, что все вороны черные!

Плак прав: если согласиться с тем, что сказала Бриди, то даже порция розового мороженого подтверждает, что все вороны черные. Но ведь это же абсурд! Или нет?

Парадокс 6: неожиданная проверка

Учитель говорит своим ученикам, что на следующей неделе

их ожидает проверка. Однако он не сообщает им, в какой день будет проведена эта проверка. Проверка должна быть для них неожиданной.

Но будет ли она неожиданной?

Можно ли провести проверку в пятницу? Нет, нельзя. Если учитель захочет провести ее в пятницу, то, зная о том, что это последний день учебной недели, ученики будут ожидать ее именно в этот день. В пятницу проверка не будет неожиданной.

346

Ну а как насчет четверга? Ученики знают, что в пятницу проверка состояться не может. Поэтому если ее не было в предшествующие дни, ученики будут ожидать ее в четверг. В четверг проверка также не будет неожиданной.

А что со средой? Опять-таки и среда отпадает. Ученики знают, что в пятницу и в четверг проверки быть не может. Если учитель отложил ее на среду, то в среду ученики будут ожидать ее. Она не будет для них неожиданной.

По тем же причинам устраняются вторник и понедельник.

Короче говоря, учитель не может провести неожиданную проверку.

Или все-таки может?

Парадокс 7: «Санта Клаус не существует»

Маленький Брайан читает английскую грамматику.

«Дед! Имена используются как ярлыки для людей и всяких других вещей, правда?»

«Правильно. Имя в предложении используется для того, чтобы выделить кого-то или что-то, о чем можно что-то сказать».

«Ну да. Когда я говорю «Джек хвастун», то это будет истинно, если человек, к которому относится имя «Джек», обладает свойством хвастливости, и будет ложно в ином случае».

«Ты прав».

«Но подожди, посмотрим, что будет дальше. Вчера ты сказал: «Санта Клаус не существует», так?

«Да, я так сказал».

«И это истинно?»

«Конечно».

«Но как это может быть истинным? Ты сказал, что имя выделяет какой-то объект, о котором затем можно что-то сказать. Но имя «Санта Клаус» никого ведь не выделяет, так?»

«Хм, верно».

347

«Но тогда «Санта Клаус» не выполняет своей роли в предложении, и предложение «Санта Клаус не существует» не может быть истинным, не так ли?»

«Да, пожалуй, что так».

«Но ты же только что сказал, что это предложение истинно!»

Маленький Брайан поставил интересный вопрос. Как предложение «Санта Клаус не существует» может быть истинным, если имя «Санта Клаус» ни к чему не относится?

Общий совет для решения парадоксов

Попробую подсказать вам, как следует подходить к решению парадоксов. Все парадоксы, представленные в этой главе, имеют форму рассуждения. Рассуждение состоит из одной или нескольких посылок и заключения. Предполагается, что посылки обосновывают заключение.

Эти рассуждения парадоксальны, поскольку посылки являются правдоподобными, а заключение — неправдоподобным, хотя ход мыслей кажется вполне корректным.

Когда вы сталкиваетесь с таким парадоксом, у вас всегда имеются три возможности: •

Можно объяснить, что по крайней мере одна из посылок выглядит истинной, но на самом деле ложна. •

Можно объяснить, что, хотя заключение рассуждения кажется ложным, на самом деле оно истинно. •

Можно попытаться обнаружить какую-то ошибку в умозаключении.

Однако прежде чем воспользоваться одной из этих возможностей, полезно сформулировать рассуждение в четком и ясном виде. Порой это довольно трудно сделать.

Для иллюстрации попробуем представить парадокс «куча» | в более формальном виде (предположим, что в куче песка Дженни содержится 100 000 песчинок).

348

• Если п песчинок является кучей, то n — 1 также является кучей. Следовательно, 99 999 песчинок являются кучей.

Это рассуждение можно повторять снова и снова до тех пор, пока мы не придем к заключению, что 0 песчинок является кучей.

Ваши возможности: 1) согласиться с заключением; 2) отвергнуть умозаключение; 3) отвергнуть одну из посылок.

Ниже приводятся некоторые комментарии по поводу каждого из парадоксов.

Парадокс 1

Не существует единодушия относительно того, как следует решать этот парадокс. Вы можете заупрямиться и сказать: «Ну и ладно, пусть то, что говорит старик, истинно и не истинно. Это противоречие. Что плохого в том, что мы допустим существование противоречия?»

Однако эта стратегия не срабатывает. Дело не только в том, что противоречия сами по себе порождают массу проблем (на которых здесь я не буду останавливаться), но и наш парадокс можно переформулировать таким образом, что признание противоречивости не помогает.

Посмотрите, как это делается. Допустим, мы вводим префикс «UN-P» таким образом, что он применяется к тем и только тем вещам, к которым термин «Р» неприменим. Это—наше соглашение. Например, «UN-лошадь» применяется к тем и только тем вещам, которые не являются лошадьми. Теперь рассмотрим следующее предложение:

Данное предложение UN-истинно.

Это предложение истинно и UN-истинно. Но мы только что определили префикс «UN» таким образом, что ничто не может быть истинным и UN-истинным. Таким образом, допущение противоречия не помогает справиться с этим вариантом данного парадокса.

349

Парадокс 2

Опять-таки нет согласия по вопросу о том, как решать этот парадокс. Некоторые философы настаивают на том, что должно быть установлено точное число песчинок, отмечающее границу между кучей и не-кучей. Тогда неверно, что устранение одной песчинки никогда не превратит кучу в некучу. Мы просто не знаем, какое это число.

Однако предположение о существовании такой точной границы мало что дает. Мы же сами решаем, к чему относятся наши понятия и где проходят границы между ними. Поэтому как могли бы мы установить точные границы понятия «куча», если мы не знаем, где эти границы проходят?

Парадокс 3

По-видимому, этот парадокс решается легко: можно просто отрицать, что существует такой человек, как Луиджи, который бреет всех и только тех людей, которые не бреются сами. Тогда предложение «Луиджи бреет только тех, кто не бреется сам», будет не истинным и не ложным.

Парадокс 4

Существует аналогичный парадокс.

Движение невозможно. Допустим, я хочу продвинуться на один ярд. Чтобы продвинуться на один ярд, я должен сначала пройти половину этого расстояния, то есть пол-ярда. Но чтобы преодолеть пол-ярда, я должен сначала пройти четверть ярда и так далее до бесконечности. Таким образом, мне нужно совершить бесконечное число движений для того, чтобы пройти один ярд. Но я не могу осуществить бесконечного числа движений. Следовательно, я не могу пройти одного ярда (и даже части ярда).

Парадокс 5

Одна из распространенных стратегий здесь заключается в том, чтобы отрицать тот принцип, что все обобщения под-

350

тверждаются своими примерами. Для этого принципа существуют и другие контрпримеры. Рассмотрим обобщение, утверждающее, что все подлецы находятся вне Ирландии. Его конкретным примером было бы: Фред подлец и Фред находится вне Ирландии. Но чем больше накапливается таких примеров — чем больше подлецов находится вне Ирландии, — тем более правдоподобным становится утверждение о том, что подлецы имеются в Ирландии. Поэтому наше обобщение относительно подлецов в действительности опровергается своими примерами!

Парадокс 6

Для того чтобы точно представить себе этот парадокс, вам нужно иметь в виду две вещи: ученики должны быть уверены, что проверка состоится (иначе даже в пятницу проверка может оказаться неожиданной: ученики могут подумать, что учитель забыл о ней, и если он не забыл, это может оказаться для них неожиданным); ученики должны быть разумными и обладать хорошей памятью (они не могут просто забыть о предстоящей проверке или перепутать что-то, так что она окажется для них неожиданной).

Парадокс 7

Этот парадокс продолжает беспокоить философов языка. Обратите внимание: здесь нельзя сказать, что имя «Санта Клаус» хотя и не обозначает какое-то лицо, но все-таки что-то обозначает — оно говорит о нашем понятии Санта Клауса. Если бы мы так сказали, то поскольку наше понятие о Санта Клаусе существует, предложение «Санта Клаус не существует» стало бы ложным.