2. Конкретность системного подхода

Методологическая ситуация здесь может быть уподоблена введению в математику идеи предельного перехода. В настоящее время мы ясно осознаем тот факт, что многие соотношения между величинами могут быть строго доказаны только в том случае, если они будут представлены как результат некоторого процесса и как предел этого процесса. С содержательной точки зрения дифференцирование вводит в математику идею становления величин и открывает тем самым продуктивный подход к ранее неразрешимым проблемам. Системный подход к проблеме обоснования математики в какой-то степени повторяет этот прием, ибо он представляет собой способ понимания логического статуса математической теории с точки зрения становления ее внутренних связей. Рассмотрение генезиса непротиворечивости при всей кажущейся его абстрактности является, в действительности, более адекватным путем обоснования непротиворечивости математических теорий, чем чисто логическое исследование законченных математических структур. На этом пути мы можем показать, что любая математическая теория, независимо от типа ее понятий, простоты и сложности аксиом, их истинности ит. п., в процессе естественной эволюции неизбежно достигает стадии, полностью свободной от противоречий. Мы выяснили, что эта эволюция неизбежно ведет к появлению системы аксиом, адекватной содержанию теории.

Системный подход переводит проблему обоснования математических теорий с абстрактно логического на методологический уровень. Мы открываем здесь внутритеоретические потоки истинности, которые определяют фактическую непротиворечивость теории, оставаясь неуловимыми для чисто логического анализа.

Различие логического и эпистемологического видения ситуации достаточно часто проявляется и в общей философии науки. С чисто логической точки зрения, к примеру, достаточно одного контрпримера для того, чтобы отвергнуть любую теорию как ложную. С эпистемологической точки зрения ясно, что один контрпример никогда не опровергает эффективной теории и что теория может благополучно существовать и функционировать при наличии множества очевидных контрпримеров. С чисто логической точки зрения ретротрансляция истинности невозможна, с методологической точки зрения при определенных условиях она может иметь место и т. п. Ясно, что здесь нет противоречия, а различие наших суждений объясняется различием подходов. Методологическая позиция ближе к действительности, поскольку она конкретнее и учитывает факторы, от которых абстрагируется чисто логическое рассмотрение.

Логический, чисто структурный подход, реализованный в классических программах обоснования математики, не является ошибочным, но он заведомо ограничен вследствие своей абстрактности. При ориентации только на форму теории и на строго логическую редукцию математических теорий друг к другу, мы оставляем в стороне важнейшие моменты бытия теории, определяющие ее непротиворечивость. Логический подход не бесполезен и, как это ясно из предшествующего рассмотрения, имеет определенные перспективы. Однако все говорит о том, что он не может быть эффективным лишь для теорий, тесно связанных с аподиктически очевидной основой математического мышления, т. е. для сферы генетически первичных теорий.

В науке существуют решения, о которых можно сказать, что они не соответствуют статусу проблемы. Существует, к примеру, множество остроумных приемов нахождения максимумов и минимумов функций в рамках элементарной математики. Однако человек, сведующий в математике, понимает ограниченность этих методов и несоответствие их общему характеру проблемы. С системной точки зрения, логические программы обоснования математики — это только паллиативные подходы, связанные с конкретным математическим содержанием и не улавливающие в достаточной мере общего характера проблемы, который связан исключительно с дедуктивной структурой теорий и не зависит ни от каких собственно содержательных подразделений между ними. Логические подходы явно не достигают необходимого уровня абстрактности рассмотрения, который необходим для общей постановки и адекватного решения проблемы обоснования математики. С одной стороны, они перегружены информацией, не относящейся к делу, а с другой стороны, они не используют информации, связанной с самим существом проблемы. Правильный путь к решению проблемы обоснования математики будет открыт только тогда, когда будет осознана неадекватность чисто логического ее разрешения, т. е. тогда, когда в должной мере будет осознан гносеологический статус проблемы.

Понятно, что для начала XX века, когда математики и логики всецело находились под влиянием идеи формальной строгости, логические подходы были единственно приемлемыми. Попытка доказать непротиворечивость математической теории «философски», исходя из общей логики ее развития, показалась бы в то время абсурдной и совершенно неприемлемой вследствие своей нестрогости. Но в настоящее время мы уже, по-видимому, близки к пониманию того, что обоснование математики как обоснование непротиворечивости основных математических теорий по большому счету является проблемой теории познания и, следовательно, должна решаться с осознанным привлечением средств, выходящих за рамки логического анализа.