5. Эпистемологизация философии математики

Возможны два представления того, что было сделано в философии математики в последнее время. Одно пыталось увязать новые исследования с традиционными направлениями —логицизмом, формализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой важной проблемы П. Бенацеррафом в его работе Математическая истина?5.

Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов подразумевает совершенно определенную концепцию познания — так называемую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не единственная теория, и тоща дилемма теряет смысл. Однако можно переформулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания. Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекательными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. Многие исследователи соглашаются, что при обсуждении эпистемологических вопросов приходится решать и главный онтологический вопрос о существовании математических сущностей, и решать его надо так, чтобы не нужно было жертвовать стандартной математикой, как это происходит при традиционном номиналистическом подходе. Но как нам кажется, эпистемологический вызов философии математики, инициированный Бенацеррафом, принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой области философии.

Превосходно «эпистемологический поворот» в философии математики выразил У. Харт: «Во время заката чувственных данных и аналитичности эпистемология как будто потеряла гордое место центра посткритической философии и, вероятно, современной философии вообще. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемология как будто закатилась. Фреге ниспровергнут, и почти все чувствуют, что древность более уместна, чем современность. Но даже если эпистемология заслуживает пару пинков, тем не менее, она остается полноправным гражданином философской республики. Причины этого очевидны. Некоторые из самых глубоких проблем философии состоят из примирения естественных, но несовместимых эпистемологий и он- тологий. Например, не случайно, что есть проблемы других умов и проблема соотношения ума и тела. Но нигде такой конфликт не является более древним, чем в философии математики. Для сочувствующего читателя Менона или Пира или же середины Государства должно быть ясно, как Платон героически сражается в поисках правдоподобной эпистемологии для теории форм. Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм, и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом является не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики»47.

Эпистемологизация математики может рассматриваться в первую очередь как реакция на философски затруднительную позицию платонизма. Традиционно платонизм считался спорным онтологически, т.е. как доктрина о существовании вне и независимо от разума объектов, обитающих в сфере идеального. Эпистемологическое возражение против платонизма, сформулированное четко Бенацер- рафом, делает упор на невозможности эпистемологического доступа к такого рода объектам. Другими словами, если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами. В такого рода аргументации, конечно, важно, что собственно имеется в виду под познанием объектов. Таким образом, мы имеем некоторые очертания эпистемологического подхода к опровержению платонизма.

В некотором смысле вся история философии математики связана с борьбой против платонизма, и поскольку это предприятие нельзя назвать особенно успешным, возникают сомнения относительно того, можно ли вообще найти решение этой проблемы, т.е. можно ли считать, что есть серьезные аргументы за или против платонизма, Причем ситуация тут несимметричная, поскольку платонизм является «намеренной» философией математиков, в то время как антиплатонизм — результат по большей части (если исключить интуиционизм) философских исследований. Поэтому каждый антипла- тонистский шаг подразумевает собственную стратегию и классификацию альтернативных решений. В этой связи весьма интересным представляется подход М. Балагера, который полагает, что тщательный анализ технических аргументов не дает оснований считать, что они решительно свидетельствуют в пользу платонизма или антиплатонизма48. В следующем ниже обзоре эпистемологических аргументов мы существенно опираемся на эту работу.

Балагер полагает, что работа Бенацеррафа Математическая истина, которая, по общему признанию, вызвала к жизни эпистемологические программы опровержения платонизма, явилась не больше чем инспирацией, поскольку в ней были спутаны различные проблемы. В частности, Бенацерраф сделал упор на несовместимости семантики Тарского для математических языков с причинной теорией познания. Недостаток такого подхода состоит в том, что математические языки могут обладать и другой семантикой, например, подстановочной49, а причинная теория познания не является единственной или выделенной среди других теорий50. Тем не менее, полезно представить аргументацию Бенацеррафа в следующем виде: 1.

Люди существуют в пространстве и времени. 2.

Если существуют абстрактные математические объекты, то они существуют вне пространства и времени.

Следовательно, согласно причинной теории познания, 3.

Если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

Следовательно, 4.

Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа. 5.

Человеческие существа имеют-таки математическое знание. Следовательно, 6.

Математический платонизм не верен.

Это несколько дотошный анализ аргументации Бенацеррафа можно было бы заменить одним пунктом 3, который концентрируется вокруг более общей проблемы, как познаются абстрактные объекты. Причинная теория познания утверждает; что для того, чтобы субъект Л знал р, необходимо наличие причинной связи между А и р, подходящим образом установленной. Поскольку установление причинной связи между субъектом и абстрактными объектами проблематично, аргументация сторонников платонизма направлена против причинной теории познания. Проблематичность эта не усматривается мистически настроенными мыслителями, например, К. Геделем, но в целом ее осознает большинство философов-платонистов.

Как указывает Балагер, разговор о причинной теории познания лишь усложняет ситуацию, поскольку можно обойтись без нее, считая, что заключение (6) прямо следует из посылок (1) и (2). Действительно, человеческие существа и абстрактные объекты не пересекаются, обитая в разных мирах, что соответствует интуиции. Однако факт познания математических объектов налицо, поскольку мы имеем ие только стройные (хочется сказать, непротиворечивые) математические теории, но и крайне успешное применение математики в естественных науках. Это так называемый аргумент о необходимости (indispensability) математики, который играет важную роль в защите платонизма51. Заключение (3) можно подвергнуть сомнению тремя разными путями. Во-первых, можно объявить ложной посылку (1). Это значит, что человеческие существа могут иметь доступ к абстрактным объектам, что утверждал, как уже было сказано выше, К. Гедель. Взгляды Геделя по этому поводу крайне туманны, а их интерпретация основывается на часто приводимой цитате из дополнения ко второму изданию его статьи Что такое континуум-гипотеза?'. «...объекты трансфинитной теории множеств... не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с физическим опытом является очень неопределенной (главным образом потому, что тео- ретико-множественные концепции играют незначительную роль в современных физических теориях). Но вопреки их отдаленности от чувственного опыта, мы имеем нечто подобное ощущению и в случае объектов теории множеств, что видно из факта, что аксиомы вынуждают нас признать их истинность. Я не вижу никаких резонов для того, чтобы испытывать меньшее доверие к этому виду восприятия, т.е. к математической интуиции, чем к чувственному восприятию, которое побуждает нас к построению физических теорий и ожиданию, что будущие чувственные восприятия будут согласованы с ними... Следует заметить, что математическая интуиция не должна рассматриваться как способность получения непосредственного знания соответствующих объектов. Скорее, как и в случае физического опыта, мы образуем наши идеи об этих объектов на основании чего-то еще, что дано нам непосредственно. Только это нечто не есть ощущения, и не главным образом ощущения. То, что это нечто помимо ощущений действительно дано нам непосредственно, следует из того факта, что даже наши идеи касательно физических объектов содержат конституенты, качественно отличные от ощущений или просто их комбинаций, например, идея самого объекта, в то время как, с другой стороны, в нашем мышлении мы не можем создать качественно новых элементов, и можем лишь воспроизвести и скомбинировать только то, что дано. Очевидно, что "данное" в математике близко соотносится с абстрактными элементами, кото- рые содержатся в наших эмпирических идеях»52. Эта длинная цитата приведена здесь полностью для того, чтобы можно было убедиться в некоторой расплывчатости видения проблемы Геделем (кстати, тут видно влияние философии Гуссерля, которого Гедель изучал особенно тщательно).

Сразу следует отметить, что сейчас мало кто считает точку зрения Геделя приемлемой, полагая ее странной и слишком метафоричной. Более точная формулировка его представлений включает следующие утверждения: во-первых, математическая интуиция аналогична чувственному восприятию; во-вторых, математическая интуиция включает информационный обмен между абстрактными математическими сущностями и людьми; в-третьих, тезис (1) ложен.

С точки зрения здравого смысла попытка объявить ложным утверждение о том, что человеческие существа не выходят за пределы пространства и времени, отдает мистикой. И действительно, «Гедель разделял с Эйнштейном определенный мистический поворот мысли... Я спросил его [Геделя], верит ли он, что Ум есть везде, в противоположность локализованным мозгам отдельных людей. И Гедель ответил: "Конечно. Это основное мистическое учение"»53.

Абсолютный Ум, или отдельные умы, имеют нематериальный, и стало быть, внепространственный и вневременной характер. Тогда возражение платонизму на основе причинной, или какой-либо другой теории познания, сводящееся к тому, что трудно представить себе поток информации от абстрактных объектов к человеческим существам, становится как будто менее серьезным, поскольку человеческие существа заменены нематериальными умами. Однако такая замена не спасает платонизм, потому что передача информации, которая является процессом причинным, от абстрактных объектов к нематериальным умам не менее загадочна по сравнению с передачей информации от абстрактных объектов к человеческим существам.

Таким образом, крайний платонизм в версии Геделя неправдоподобен, и объяснение интуиции как средства познания следует искать на другом пути. Недаром Гедель значительную часть времени уделил изучению философии Канта и Гуссерля, в работах которых интуиция занимает важное место. Другими словами, идея контакта с другими мирами не проходит. Впрочем, несмотря на то, что эти идеи исходили от столь авторитетного ученого, как Гедель, их никто не принимал и не принимает всерьез.

С точки зрения логики вполне возможна защита платонизма путем признания ложным пункта (2), т.е. отказ от утверждения, что абстрактные математические объекты существуют вне пространства и времени. Именно такова позиция П. Мэдди, описанная выше. На сегодняшний день Мэдди отказалась от своего в достаточной мере радикального реализма в пользу натурализма. Менее радикальным решением в выработке стратегии защиты платонизма является признание (1) и (2) с одновременным отказом от того, что из этих утверждений следует (3), а именно, что если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательный доступ. Большая часть исследователей придерживается именно такой стратегии. Наиболее основательная аргументация в этом направлении представлена В. Куайном.