8. Великий вопрос: философия или математика

Но следует ли философии играть столь существенную роль в математических вопросах? Быть может, более радикальным разрешением вопроса о континуум-гипотезе является натурализм в математике, который отводит философии гораздо более скромное место в такого рода вопросах, чем она традиционно занимала. Вот как примерно выглядит сводка результатов по поводу континуум-гипотезы у М. Балагера75 в рецензии на книгу П. Мэдди, философа математики, которая совсем недавно исповедовала реализм, а сейчас усиленно «продвигает» натурализм в философию математики76.

Во-первых, несмотря на имеющийся как у некоторых математиков, так и у некоторых философов скепсис, вопрос о том, следует ли искать подтверждения (или опровержения) континуум-гипотезы, следует указать, что такие усилия вполне значимы и достойны математического исследования. Во-вторых, философские рассмотрения относительно реальности математических объектов являются полностью несущественными и нерелевантными как к спорам относительно значимости континуум-гипотезы, так и к вопросу о допустимости в математическом дискурсе. Вообще, математический натурализм исключает точку зрения так называемой первой философии, что в истории философии означает первичность философских рассмотрений в любой науке. На этом вопросе мы остановимся ниже. Что касается следствий натурализма для континуум-гипотезы, то следует подчеркнуть, что в вопросе о допустимости ее никакие спо- ры о реализме и антиреализме в математике не играют роли. Важны математические аргументы. Натуралистический аргумент о допустимости континуум-гипотезы должен включать следующие ингредиенты: а) объяснение природы целей математики, ее методологии и практики; б) объяснение того, как методология, практика и цели математики могут быть рационально обоснованы согласно внутренним критериям математики, а не исходя из философских представлений; в) объяснение того, как при принятии методологии, целей и практики математики становится ясно, что континуум-гипотеза вполне допустимый и достойный исследования вопрос.

Одним из способов решения этой проблемы является поиск новых теоретико-множественных аксиом. Но в качестве аргументов в пользу кандидатов на новые аксиомы должны выступать только математические аргументы, и никак не философские. Такого рода аргументы следует искать в истории и практике математики. Среди критериев для принятия новых аксиом мы должны учитывать: а) интуитивную правдоподобность аксиомы; б) прагматические рассмотрения относительно привлекательности в целом получающейся теории; в) рассмотрения по поводу того, в какой степени новая аксиома совместима с математическими максимами или установками в исследовании.

В том случае, если все приведенные выше математические рассмотрения не разрешат вопроса о континуум-гипотезе, следует принять две теории — так называемые канторовскую и неканторовскую теории множеств, с утверждением и отрицанием соответственно континуум-гипотезы. Но рассмотрения подобного рода не должны быть философскими, и должны основываться на привлекательности обеих теорий. Конечной целью исследования должна быть унификация этих теорий в одно видение.

При рассмотрении этих рекомендаций натуралиста закрадывается масса сомнений относительно того, достаточно ли будет истории и практики математики, чтобы осуществить все указанные маневры. Многие из них, например, рекомендации по использованию методологии, выглядят как использование философии с черного хода. Все подобные рассмотрения поднимают более общий вопрос о роли философии в математическом исследовании.

В истории взаимоотношений математики и философии четко обозначен этап, когда многие философы и некоторые математики полагали, что онтология и другие философские вопросы определяют практику математики. Так, Платон выражает негодование по поводу «ограниченности» геометров: «они [геометры] выражаются как- то очень забавно и принужденно. Словно они заняты практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют выражения "построим" четырехугольник, "проведем" линию, "произведем наложение" и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем это все наука, которой занимаются ради познания... ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет... Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному»77.

Не менее впечатляющей с точки зрения примата философии в математических исследованиях была философская мотивация Бра- уэра при обосновании им интуиционизма. В этом отношении интересна судьба обеих атак на математическую практику.

Указанные примеры являются демонстрацией вполне определенной тенденции в понимании соотношения математики и философии. Она заключается в том, что сначала нужно определить (естественно, с помощью философии) природу математических сущностей, более точно открыть эту природу, поскольку сущности объективны, или описать ее, если сущности конструируются людьми, и только после этого допустима некоторая математическая практика. Это соображение выглядит несколько утрированно для нынешнего состояния математических исследований, поскольку вряд ли можно найти работающего математика, который согласится с этим соображением, но в неявном виде оно проходит красной нитью через все классические дискуссии логицизма, интуиционизма и формализма. Такой примат философских соображений называется принципом первичности философии (philosophy-first principle)79. Термин восходит к тем временам, когда философы свободно ставили философские соображения во главу всех научных дискурсов. А вот противоположный принцип философия есть последнее дело для математики (philosophy-last-if-at-all principle), как его сформулировал Шапиро, состоит в том, что философия не имеет никакого отношения к математике, которая живет собственной жизнью. Все философские дискуссии не внесли вклада в собственно математику. С точки зрения сторонников этого принципа, видимые контрпримеры ему, например математическая логика, не являются на самом деле контрпримерами. Та же математическая логика давно перестала иметь какие-то связи с философией, и превратилась в одну из чисто математических дисциплин. Правда, не все в такой аргументации «чисто», поскольку многие математики полагают, что исследования в области «оснований математики» не находятся в русле основных тенденций развития математики (или как сейчас говорят, эти исследования находятся вне «мейнстрима»). Да и сама логика находит мало применения в математике. В качестве представителя такой скептической точки зрения можно привести видного математика Дж. Крайзеля: «...большинство математиков весьма незначительно зна- комы с логикой, разве что с символами для логических связок... Лишь немногие одаренные математики нашли превосходнейшие применения логики, используя существенным образом те концепции, которые были патентовано развиты в специфических логических исследованиях... (читателю, имеющему достаточную подготовку для серьезного понимания этой статьи, следует лишь напомнить о работах Матиясевича о диофантовых соотношениях, Акса, Ершова и Кочена о р-адических полях). Другие одаренные математики, подобно Н. Винеру или Дж. фон Нейману, которые исходно специализировались в логике, но не нашли достойного применения своих талантов, позднее использовали свое знакомство с "новой" логикой с выгодой для себя, в работах по кибернетике и программированию компьютеров»80.

Фактически натурализация эпистемологии и философии в целом есть выражение той ее самой тенденции «философия есть последнее дело для математики». С социологической точки зрения все это представляет собой общую тенденцию низведения философов до уровня «подмастерьев». С. Фуллер многозначительно назвал один и параграфов своей книги по философии науки Как глубоко мы пали: философы как подмастерья. Суть процесса, который описывается Фуллером, состоит в том, что «философы науки постепенно принимают как должное ослабление своего нормативного статуса и окончательно смиряются с ролью подмастерьев»81.

Если эта тенденция возобладает окончательно, то следует с сожалением вспомнить о тех временах, когда не было интеллектуальной стены между математиками и философами. Хрестоматийный пример великих математиков, которые были одновременно философами, — Декарт, Лейбниц, Паскаль, Больцано, Рассел, Гильберт, Фреге — может не очень убедить математиков, но вот утверждение Геделя о том, что принятая им позиция реализма в философии математики помогла ему существенно в доказательстве полноты логики первого порядка и неполноты арифметики, может быть более убедительным примером влияния философии на математику82.