Философия математики Бертрана Рассела

Б. Рассел. Введение в математическую философию

Во всех вопросах логического анализа мы обязаны главным образом Фреге.

А.

Принципы математики

Есть свидетельство, что Рассел (1872-1970) сначала послал сообщение о противоречивости понятия «класс всех классов» Джузеппе Пеано, и лишь не получив от него ответа, вступил в переписку с Фреге53. Эта переписка послужила началом интенсивно- го изучения работ Фреге и сотрудничества с Альфредом Уайтхедом (1861-1947) по созданию грандиозного проекта сведения математики к логике под названием "Principia Mathematica"54. Согласно этому проекту предполагалось сведение к логике не только арифметики, но и других разделов математики — прежде всего анализа. Кроме того, он планировался как обобщение наиболее важных результатов, полученных к тому времени в области обоснования математики, включая прежде всего работы Пеано и Фреге.

Три цели вдохновляли авторов «Принципов математики» на создание универсального логического языка. Во-первых, они стремились с его помощью провести тщательный логический анализ всех терминов и способов доказательства, используемых математиками, а также свести к минимуму множество неопределяемых математических терминов и недоказываемых (исходных) высказываний, т. е. аксиом. Во-вторых, в таком языке они видели лучший способ выявления и выражения изначальной логической структуры выделенных математических терминов и высказываний. В-третьих, универсальный логический язык казался им самым эффективным средством избавления логики и теории множеств от парадоксов.

Логический анализ исходных понятий и законов математики Рассел назвал математической философией.

Два шага в истории этого анализа стали революционными, отмечает Рассел.

Пеано, достаточно всего трех неопределяемых терминов и пяти аксиом, носящих его имя, чтобы формализовать всю теорию натуральных чисел и тем самым арифметику.

Когда-то математика и логика были полностью различными сферами интеллектуальной деятельности. Но в настоящее время, считает Рассел, они настолько переплелись, что чрезвычайно трудно провести между ними четкую границу. Фактически они слились в одну единую науку. Тем, кто в этом еще сомневается, Рассел предлагает заглянуть в «Принципы математики» и поискать в определениях и дедукциях этого сочинения границу, четко отделяющую логику от математики. Такую границу, заверяет Рассел, невозможно провести. Но если логика и математика — части одной науки, то у них должен быть единый предмет. Таким предметом является логическая форма высказываний, точнее говоря, универсальный логический язык, в котором могут быть выразимы с максимальной точностью любые математические утверждения.