2. Сводка направлений в философии математики

логицизм (математика есть логика в чужом одеянии); 2.

логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка);

формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто «идеальное» — и само по себе не несущее смысла—расширение «реальной» — конечной и комбинаторной — математики);

платонизм (согласно Геделю, реально существуют математические объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он приобретает все лучшую интуицию относительно поведения таких объектов);

холизм (В. Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки, и необходимость квантификации над математическими объектами в случае достаточно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетельство в пользу «постулирования множеств с той же степенью обоснования, какую мы имеем при всяком онтологическом постулировании»; множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе научного исследования);

квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике);

модализм (мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур);

интуиционизм (принятие математических утверждений как значимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относительно истин, например бивалентности).

Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и продолжать исследования, которые представляют собой определенную смесь последних четырех направлений.

номинализм (программа X. Филда);

структурализм (программа С. Шапиро и М. Резника);

натурализм (программа П. Мэдди).

Само многообразие направлений не должно вызывать удивления, поскольку это довольно распространенное явление в современной аналитической философии. Действительно, важнейшим отличием описания того, что собой представляет нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная бесполезность устойчивой классификации. В этом отношении ситуация в философии математики похожа на ситуацию в аналитической философии вообще. Дж. Пассмор выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: «Буйное, плохо вмещающееся в какие- либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах — можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос — невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота больше не представляется разумной амбицией. Более скромное название моей книги, скажем Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные, было бы более подходящим названием в современном стиле»24.

Далее будет представлено краткое описание новых направлений в философии математики, которые появились за последнее время, будучи реакцией на «усталость» от классических направлений. Описание не претендует на полноту и очерчивает эти направления в самых общих чертах.