Понятие многозначной логики. Имеется три наиболее известные трехзначные логики: Бочвара, Клини и Лукасевича. Трехзначная логика Лукасевича. Три истинностных значения: истина, ложь, неопределенно (недетерминировано, возможны - другие названия третьего значения).
Обоснование Лукасевичем 3 -го значения истинности дано им в статье «О детерминизме». Два аргумента защитников тезиса о детерминизме: принцип причинности и закон исключенного третьего. Контраргументы Лукасевича. Новаторская формулировка Лукасевичем принципа исключенного третьего «Т(р) либо F(He-p)» и принципа двузначности (бивалентности) - где Т, F - соответственно операторы «истинно, что...» и «ложно, что...». Дадим таблицы истинности для трехзначной логики Лукасе- вича как надстройки над классическими таблицами истинности посредством добавления 3-го значения истинности - неопределенно. Классические значения истинности будем обозначать посредством «1» (истинно) и «О» (ложно), а значение неопределенно - через «2». Обратите внимание, что на классических значениях истины таб - личное определение логических связок совпадает с определением в классической двухзначной логике. Это значит, что любая общезначимая формула трехзначной логики Лукасевича есть тавтология и классической логики. Определение 1. Общезначимой формулой трехзначной логики Лукасевича называется формула, которая при всевозможных распределениях значений истинности по подформулам данной формулы сама формула принимает значение истина («1»), которое называется выделенным значением. Можно, построив таблицы истинности, проверить, что в трехзначной логике Лукасевича закон исключенного третьего A v ~А и закон непротиворечив ~(А л ~А) не являются тавтологиями. Отрицание и импликация - исходные логические операции в трехзначной логике Лукасевича. Определение остальных операций осуществляется следующим образом: Замечание. В классической логике дизъюнкция определяется двумя способами: через формулу (А ^ В) ^ В или ~А ^ В.
Однако в трехзначной логике Лукасевича импликация неопределима через ~А ^ В. Заметим также, что трехзначная логика Лукасевича не является функционально полной, т. е имеются функции трехзначной логики, которые невозможно определить через логические связки трехзначной логики Лукасевича. Первая аксиоматизация тавтологий трехзначной логики Лукасевича была предложена выдающимся польским логиком М. Вайсбергом (1931). Аксиоматическая система Правила вывода П1. Модус поненс. П2. Правило подстановки: если dА(...В...), то d А(...В/С...), где В подформула А, аВ/С есть результат замены каждого вхождения подформулы В в формулу А формулой С. Определение доказательства и доказуемой формулы обычное. Возможно дать также табличное определение модальных операторов «необходимо», «возможно», «случайно» в трехзначной логике Лукасевича, но это уже функционально истинностные операторы. Модальности такого типа историчиски не оправдались. Трехзначная логика Клини (1938): сильные логические связки. Трехзначная логика Бочвара: внутренние и внешние логические связки. Взаимоотношения между трехзначными логиками Лукасевича, Клини и Бочвара. Методические рекомендации 1. Убедитесь, что формулы А v ~А и ~ (А л ~А) не являются тавтологиями. 1. Познакомьтесь с трехзначными логиками Бочвара и Клини. 2. Познакомьтесь с модальными теориями Лукасевича по указанной литературе. Вопросы для самоконтроля 1. Что означает третье истинностное значение «2» в трехзначной логике Лукасевича? 2. Сохраняется ли классический закон тождества в трехзначной логике Лукасевича? 3. Удовлетворяет ли аксиоматическая система трехзначной логики Лукасевича методологическим теоремам? 4. Чем отличается трехзначная логика Лукасевича от трехзначных логик Бочвара, Клини? Литература 1. Ивин А. А. Модальные теории Яна Лукасевича. М., 2001. 2. Карпенко А. С. Многозначные логики. Логика и компьютер. Вып. 4. М., 1997. Гл. 2.