1. Функции логики

В Principia Mathematica (1911—1913) Рассела и Уайтхеда в основания математики была положена логика второго и высших порядков. В конце 20-х и начале 30-х годов логическим основанием математики стала логика первого порядка.

В отношении содержания логической или математической теории существует несколько точек зрения. Рассел, сведя математику к логике, провозгласил к тому же и отсутствие содержания в логике, что автоматически переносилось и на математику. Обе дисциплины были объявлены лишенными содержания, в том смысле, что утверждения в этих науках являются тавтологиями. Эта идеология была принята Венским Кружком, но отвергнута, как и положено, большинством философов математики как крайне неправдоподобная точка зрения167. Однако постановка проблемы отсутствия содержания в логике оказалась крайне полезной при разработке и обосновании концепции логики первого порядка как оснований математики. Логика не имеет содержания в том смысле, что в аксиоматической теории логика не вводит с черного хода в математическую теорию никаких дополнительных предположений, чем достигается полная ясность относительно того, какие именно объекты принимаются данной аксиоматической теорией168.

Логика первого порядка не имеет содержания, по крайней мере в том смысле, что она служит лишь обеспечению правильного перехода от посылки к заключению в математическом размышлении, и этот переход происходит по вполне ясным правилам, относящимся к использованию логических констант. В этом отношении логика второго порядка гораздо менее ясна, потому что нет такого множества правил, которые бы дали все ее правильные результаты. Другими словами, логика первого порядка обладает полнотой, в то время как логика второго порядка неполна. Выразительные возможности логики второго порядка в качестве оснований математики намного богаче выразительных возможностей логики первого порядка. Тем не менее, по существующим ныне канонам, основания математики представляют собой логику первого порядка плюс аксиоматическая теория множеств. Для того чтобы понять парадоксальность сложившегося положения, следует рассмотреть более тщательно, каковы различия этих двух видов логики.

Фундаментальным понятием логики является понятие следования, которое призвано эксплицировать наши интуитивные представления о том, как следует совершать переход от одного утверждения к другому. Неявной посылкой интуитивных представлений выступает уверенность в том, что понятие следования должно быть универсальным, отражая структуру человеческого мышления в самых разных дискурсах, от математики до философии. Однако это представление неверно уже потому, что логика как таковая может пониматься по-разному. В значительной степени это связано и с различным пониманием аксиоматического метода. В последнее время принято учитывать и то обстоятельство, что распространенное понимание логики как математической логики не принимает во внимание, что последняя является кодификацией математического теоретизирования, где в силу многих тонких особенностей математики фундаментальные понятия, имеющие хождение в философии (ввиду традиционной связи философии и логики), могут претерпеть значительную модификацию в математических контекстах. Другими словами, надо различать применение логики в математике и применение логики в обычном дискурсе.

Действительно, при использовании аксиоматического метода аксиомы часто имеют нелогический характер, будучи систематиза- цией определенной области математики, или же какой-либо научной отрасли. Если в естественных или гуманитарных науках подобного рода систематизация — едва ли достижимый идеал, то в математике она обретает плоть. Это в самом деле идеал, потому что, имея полную аксиоматическую систему в изложенном выше смысле, для получения нового знания требуется лишь извлечение логических следствий из аксиом. В некотором смысле такая программа является воплощением рационализма в философском смысле, поскольку, ограничиваясь логическими следствиями из аксиом, можно забыть о реальности.

Тут есть одно противоречие, которое касается природы аксиом. Если говорить в духе рационализма о врожденном знании, то аксиомы должны быть просты в некотором смысле. Однако трудно ожидать, что полная система аксиом, представляющая какой-то фрагмент реальности во всем его богатстве, будет состоять из простых истин. В научной практике такого не случается, хотя и продолжает оставаться недостижимым идеалом. Так, уравнения Максвелла, из которых следует вся классическая электродинамика, определенно непросты. Представление в четырехмерном формализме Минков- ского упрощает их, но вряд ли это полученный результат более интуитивно понятен и ясен.

Содержательные или эмпирические истины, нашедшие отражение в аксиомах, могут там присутствовать явно или же скрыто. Явное присутствие имеет место при интерпретированных аксиомах, а неявное — в неинтерпретированных. Если все теоремы выводятся из аксиом чисто логическими средствами, тогда мы имеем дело с чисто логической системой аксиом, независимо от того являются ли аксиомы интерпретированными или нет. Все дело в значении логических констант, которое должно оставаться постоянным при любых интерпретациях нелогических констант. Ясно, что такое положение дел связано с желанием, чтобы правила вывода были рекурсивными или вычислимыми. Такое понимание функций логики является результатом взгляда, согласно которому логика представляет формальный каркас, содержащий отношения (следования) между содержательными утверждениями. «Здесь мы имеем пример роли логики, которая по вполне понятным причинам укоренилась в умах большинства моих сотоварищей философов, логиков и математиков. Логика есть изучение отношений логического следования, то есть отношений импликации. Ее конкретное проявление заключается в способности выполнять логические выводы, то есть выводить дедуктив- ные заключения.

Теперь следует различить аксиоматизацию нелогических систем, в которой аксиомы представляют собой содержательные утверждения, из которых выводятся другие содержательные утверждения, и аксиоматизацию логических систем, в которых имеют дело с логическими истинами. Несмотря на использование одного и того же слова (что часто случается в развитии науки и философии), между двумя его смыслами имеется фундаментальное различие. Аксиоматизация логики была изобретена специально как кодификация формальных правил, которые желательны при формализации математического дискурса. Это метод рекурсивного перечисления всех логических истин, которые только можно получить из определенных (логических) аксиом в некотором формальном языке. Различение имеет смысл и в связи с понятием намеренной интерпретации — нелогические аксиоматики имеют практически всегда намеренные интерпретации, в то время как вопрос об интерпретациях подобного рода для логических аксиоматик несколько искусствен.

Обычно считается, что цель логического вывода состоит в том, чтобы при переходе от утверждения к утверждению сохранялась истинность утверждений. Но одно дело — сохранять логические истины и совсем другое — сохранять содержательные истины. Содержательные истины представляют собой эмпирические истины о мире, т.е. фактические истины, в то время как логические истины имеют совсем другое концептуальное происхождение. Логика, будучи на протяжении многих веков связанной с метафизикой, легко благословляет вывод от материальной импликации р з> q (где р и q — содержательные утверждения) к модальному утверждению о необходимости N (pD q), вывод, который не проходит в случае содержательных утверждений. В этом случае логический вывод не будет гарантировать сохранение истины. В некотором смысле вывод в нелогической системе является подлинным выводом, в то время как логический вывод — «сегментом рекурсивного перечисления истин». Однако история логики и математики сложилась так, что это важнейшее различие было смазано, если можно так выразиться, контингентным событием создания логики первого порядка. Прежде всего, следует отметить, что аксиоматической системой, по поводу которой возникли дискуссии, которые, в конечном счете привели к выделению в логике языка первого порядка, была аксиоматическая система теории множеств Э. Цермело. Поскольку усилиями Фреге и Рассела теория множеств рассматривалась как часть логики, содержательная аксиоматическая система Цермело как основание теории множеств (и всей математики) во многом была подобна аксиоматической логической системе. (Справедливости ради надо сказать, что различие, о котором мы сейчас говорим, родилось лишь совсем недавно, и во времена Цермело о нем не могло быть и речи.) Аксиоматическая система теории множеств Цермело была подвергнута резкой критике, и поэтому им (среди других исследователей) были предприняты значительные усилия для прояснения логики, которая лежит в основе теории множеств. С одной стороны, это были усилия по построению содержательной аксиоматики, а с другой — исходя из потребностей теории множеств, была выделена логика первого порядка как базовая логическая система. Это привело к отделению логики первого порядка от логик высших порядков, в которых допускается квантификация над такими абстрактными сущностями как предикаты, классы, множества и отношения.

Официально логика первого порядка родилась в 1928 г., когда вышла книга Д. Гильберта и В. Аккермана Основы теоретической логики1, где этот фрагмент логики был сформулирован явным образом. Ряд обстоятельств сделал логику первого порядка средством логического вывода в математике. Во-первых, как видно из всех учебников, где излагается предикатная логика или кванторная логика (другие названия логики первого порядка), кванторные формулы используются как формализация обыденного языка. В. Куайн в ряде своих работ170 назвал этот процесс «регламентацией обыденного языка», что впрочем неудивительно, поскольку для него, как уже говорилось ранее, «first-order logic is logic enough». Коль скоро обыденный язык подвергается относительно удовлетворительной формализации, логика первого порядка стала считаться естественным инструментом не только математического, но и обыденного мышления. Далее, «легко видеть, почему логика первого порядка кажется мечтой логика. Прежде всего эта логика допускает полную аксиоматизацию. С первого взгляда это кажется эффективным исполнением надежд Гильберта и других на непроблематичную и полностью аксиоматизируемую базисную логику. Существование такой логики было на самом деле одной из предпосылок того, что ныне известно под именем программы Гильберта — то есть, программы доказательства непротиворечивости некоторых математических теорий, в первую очередь арифметики и анализа, путем демонстрации того, что из их аксиом невозможно формально вывести противоречие. Если бы используемая при этом логика была неполна, тогда весь проект терял свой смысл, потому что могло бы существовать недоказуемое противоречие среди логических следствий этих аксиом. К счастью, Геделем в 1930 году была показана полная аксиоматизируемость логики первого порядка. Больше того, было показано, что логика первого порядка допускает все виды приятных металогических результатов, таких как компактность (бесконечное множество предложений непротиворечиво, если и только если, непротиворечивыми являются все его конечные подмножества), направленная снизу вверх теорема Левенгейма — Сколема (непротиворечивое конечное множество предложений имеет счетную модель), теорема отделимости (если а и т — непротиворечивые множества формул, носит противоречиво, тогда для некоторой «отделимой формулы» в 5 в стандартном словаре а и т мы имеем а => 5, т -i 5), интерполяционная теорема (если => (SI э 52) нетривиально, тогда для некоторой формулы I в общем словаре 51 и 52, (51 э I), => (I Z) 52)), теорема Бета (неявная определимость влечет точную определимость), и так далее. Короче, логика первого порядка кажется не только базисной, но и настоящим раем логиков»171.

Однако этот «рай» оказался несовершенным, поскольку значительное число математических концепций не может быть выражено в языке первого порядка. К таким концепциям относятся математическая индукция, вполне-упорядочение, конечность, кардинальность, мощность множества и др. Сразу же следует заметить, что все эти понятия выразимы на языке второго порядка. Между тем подобная функция является прерогативой логики, и в этом смысле логика второго порядка более предпочтительна для математического теоретизирования. Хинтикка называет такую функцию логики дескриптивной, и полагает, что «многие интересные феномены в основаниях математики становятся более понятными в свете трений, которые часто очевидны между дескриптивной и дедуктивной функциями логики в математике».

Дедуктивная функция логики реализуется в теории доказательств, а дескриптивная — в теории моделей. Рассмотрение усло- вий истинности в теории моделей, или логической семантике, является более фундаментальным шагом в осмыслении природы логики, чем рассмотрение чисто дедуктивной структуры. Действительно, логические выводы основаны на значении входящих в них символов. Но трактовка логических связок на этом пути не дает нам опять-таки фундаментального понимания их природы. А вот в теории моделей мы можем получить такую трактовку, рассмотрев отношение предложения р к множеству М(р) его моделей. Предполагаемый вывод от р\ кр2 в этом случае общезначим, если и только если, М(р 1) с М(р2). В этом смысле реальная логика, используемая в формализованном представлении мышления, основана на теоретико-модельном значении логических констант.