Основные виды неклассических логик: модальные, многозначные, интуиционистская, релевантная логики. 2.1. Алетическая модальная логика высказываний Основные виды модальных логик: алетическая, эпистемиче- ская, деонтическая.
Опишем только алетическую логику высказываний. Язык алетическои модальной логики 1. Счетное множество пропозициональных переменных: p, g, r, ...; 2. Логические связки (конъюнкция и др.); 3. Операторы модальной логики: ? - читается «необходимо, что.», 0 - читается «возможно, что.». Определение 1 (правильно построенной формулы - п. п. ф.). 1. Любая пропозициональная формула есть п. п. ф.; 2. Если А - произвольная п. п. ф., то ~А, ?А и 0А - п. п. ф.; 3. Если А и В произвольные п. п. ф., то А * В также п. п. ф., где * = {л, v, ^, -о-}. Операторы возможности и необходимости взаимоопределимы: А = df ~0~A. 0A = df -? ~A. Взаимоопределимость модальных операторов означает, что в дедуктивном или семантическом изучении модальной логики мы можем обойтись каким-то одним оператором. Аксиоматическое построение модальной логики Рассмотрим 4-е модальных аксиоматических систем. Система М. R5. (правило подстановки). Обычная формулировка. Правило Геделя указывает, что если формула А доказуема, то ? А тоже доказуема. Система S4. К аксиомам и правилам вывода системы М добавим аксиому: А3. Система Br (Брауэра). К аксиомам и правилам вывода системы М добавим аксиому: А3. Система S5. К аксиомам и правилам вывода системы М добавим аксиому: А4. Определение 2 (доказательства). Доказательством в системах М, S4, S5, Br называется такая последовательность формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо формулой, полученной из остальных посредством правил вывода. Дедуктивное отношение между системами представим следующей схемой: Она по казы вает, что каждая до казуемая фор мула системы М доказуемая также в системах S4, S5 и Br, но не наоборот, т. е. в каждой из систем S4, S5, Br имеются доказуемые формулы, которые недоказуемы в системе М. Каждая доказуемая формула систем S4 либо Br доказуема в системе S5, но не наоборот. Таким образом, самой сильной системой является система S5. Теория моделей для модальных систем: М, S4, S5, Br Модальные операторы не являются функционально-истинностными операторами, т. е истинностное значение оператора определяется по его подформуле. Например, истинностное значение ~А полностью определяется истинностным значением формулы А, так как оператор ~ является истинностно-функциональным. Это значит, что в модальных формулах ? А или ОА, если известны истинностные значения формулы А, то по нему невозможно определить истинностное значение ? А или ОА. Модель есть упорядоченная тройка M = (K, R, v): К - непустое множество возможных миров; R — отношение между мирами, называемое отношением достижимости или альтернативности. v - двуаргументная функция интерпретации: значение одного аргумента v - формула, второго - возможные миры; область значения v функции - истинностные значения (истинно, ложно). Замечание. Иногда специально выделяется реальный мир @ среди множества возможных миров. Содержательно отношение достижимости R можно понимать следующим образом: пусть даны два произвольных возможных мира К и к2 из К, которые находятся в отношении достижимости к^к2: мир к2 достижим из мира кг Это означает в терминах истинности - высказывание, истинное в мире к2 является возможным в мире кг Идея семантики как истинностное отношение между мирами была высказана Лейбницем, который полагал, что необходимо истинным является то, что истинно во всех возможных мирах.
Отношение R должно быть рефлексивным, т. е. каждый мир возможен относительно самого себя, т. е. каждое высказывание истинное в возможном мире, тем самым возможно в этом мире. Определим истинностное значение формулы (без модального оператора) относительно возможного мира при заданной интер претации. Определение 1. Формула называется общезначимой, если она истинна в любой модели. Класс М-моделей, адекватных М-системе: модели, в которых отношение между мирами имеет свойство рефлексивности. Слово адекватный здесь означает: модели, в которых доказуемые формулы общезначимы. Класс S4 - моделей, адекватных S4 - системе: модели, в которых отношения между мирами обладают свойствами рефлексивности и транзитивности. Транзитивность отношения понимается обычным образом: если ^RK2 и K2RK3, то к^к3. Класс Br-моделей, адекватных Вг- системе: модели, в которых отношение между мирами имеет свойства симметричности и рефлексивности. Симметричность отношения R означает: ^RK2, то K2RK1- Класс Фб-моделей, адекватных Эб-системе: модели, в которых отношение между мирами удовлетворяет свойству эквивалентности (т. е., рефлексивности, симметричности, транзитивности). Метод поиска контрмодели для проверки свойства «быть общезначимой» формулой М, S4, Вг, S5 - систем. Философские проблемы возникают в понимании исходных, т. е. неопределяемых, понятий теории моделей: «возможный мир», «актуальный мир», «отношение достижимости». Методические рекомендации 1. Обратить вни мание на то, что модальные операторы в рас смат - риваемых системах не являются функционально истинностным. 2. Покажите, что указанное дедуктивное отношение между системами имеет место. Для этого надо доказать аксиомы тех систем, которые включены в другие системы. 3. Обратите внимание на особенности определения истинности модальных формул. 4. Обдумайте философский статус возможных миров. Вопросы для самоконтроля 1. В чем различие между модальными логическими системами М, S4, ВГ, S5? 2. Что означает, что модальные операторы в рассматриваемых системах не являются функционально истинностным? 3. Что означает, что класс моделей (с указанными свойствам) адекватен соответствующей логической системе? 4. В чем вы видите философские проблемы, связанные с модальными логиками? Литература 1. Бежанишвили М. Н. Логика модальностей знания и мнения. М., 2007. Гл. 1, § 1, 2. 2. Костюк В. Н. Элементы модальной логики. Киев, 1978. Гл. 2. 3. Павлов В. Т., Ишмуратов А. Т., Омельянчик В. И. Модальная логика. Киев, 1982. Гл. 1-6. 4. Солодухин О. А. Два подхода к проблеме оснований логических модальностей // Логика и онтология. М., 1978. С. 128-158.