2. Основные типы математической очевидности

Эмпирическая очевидность. Мы имеем дело с такого рода очевидностью, когда математическая истина признается на основе некоторого опыта или общего представления, имеющего опытное происхождение.

Очевидность аналогии. Это та очевидность, которая проистекает из перенесения на новый объект свойств известных и привычных нам объектов, которые в каких-то существенных отношениях сходны с ним. Аналогия — один из самых важных эвристических механизмов развития математики. Д. Пойа утверждал, что нет ни одного математического открытия, которое было бы сделано без помощи аналогии. Аналогия в математике чаще всего является и доказательной в том смысле, что заключения по аналогии в подавляющем числе случаев оправдываются затем собственной теорией новых объектов, т. е. приобретают статус строго доказанных. Однако очевидно, что такого рода заключения могут оказаться и ложными. История математики дает нам много примеров, когда аналогия использовалась скрыто и приводила к ложному убеждению в успехе там, где его не было. Интересным примером такого рода ошибки является «доказательство» теоремы Ферма, представленное Г. Ламе в Парижскую Академию наук в 1847 году, которое покоилось на допущении безусловной применимости основной теоремы арифметики для поля комплексных чисел2. Это значит, что очевидность аналогии, имеющая несомненное эвристическое значение, также не может считаться строго доказательной. 3.

Концептуальная очевидность. Этот тип очевидности основывается на образах, которые математики привносят в теорию извне, с тем, чтобы приблизить математические истины к ассоциациям обыденного опыта. Сколь бы сложной не была теория в своих внутренних конструкциях, как бы далеко она не уходила от обыденных представлений, ученые постепенно обживают ее, вводя образы, позволяющие непосредственно осязать ее внутренние связи и двигаться на этой основе к новым результатам. Так же как и эмпирическая очевидность, концептуальная очевидность связана с содержательной интерпретацией математических объектов. Различие состоит в том, что концептуальная очевидность генетически вторична по отношению к теории, она произ- водна от существующей математической структуры и направлена исключительно на ее прояснение. Ясно, что концептуальная очевидность, как и эмпирическая, не имеет аподиктического характера и не может использоваться в математике в качестве обосновательного средства3. 4.

Предметная очевидность. Это очевидность, связанная с мысленными операциями в сфере идеальных предметов, которая лежит в основе математики и позволяет нам с полной определенностью утверждать, что 2 + 2 = 4, 5 + 7= 12 и т. п. Предметная очевидность задает законы операций с идеальными предметами, которые предполагаются в процессе реального счета и предшествуют ему как устойчивое мысленное представление. Мы не считаем волны на море или мысли в голове человека, поскольку они не удовлетворяют или плохо удовлетворяют требованиям к вещам, поддающимся счету. Считаемые предметы должны быть стабильными, изолированными (различимыми) и аддитивными в том смысле, что операции с ними не должны вести к их соединению или исчезновению. Мы можем говорить, что арифметика применяется только к той реальности, в которой с достаточной точностью реализуются представления об идеальных предметах и их связях, лежащие в основе понятия числа, и сама арифметика должна рассматриваться прежде всего как описание этих представлений.

Предметная очевидность лежит не только в основе арифметики, но и в основе всех других математических наук. В алгебре мы отвлекаемся от мысленных единиц и от конкретных представлений об их соединениях и разделениях, а сосредоточиваем внимание на знаках как эмпирически данных вещах и операциях с ними. Но наша уверенность в надежности алгебраических операций, конечно, покоится на том, что знаки и операции со знаками в достаточной степени удовлетворяют требованиям к идеальной предметности, лежащим в основе арифметики.

Предметная очевидность является аподиктической очевидностью в том смысле, что очевидный результат арифметического или знакового рассуждения не может быть поставлен под сомнение каким-либо логическим анализом или контрпримерами. Любое теоретическое рассуждение в математике было бы немедленно отвергнуто, если бы оно вошло в противоречие с выводами, достигнутыми на ее основе. Формализованное доказательство представляется для нас непогрешимым именно по той причине, что оно сводится к аподиктически очевидным манипуляциям с предметами (знаками). Философы, однако, преувеличивают значимость мышления на этом уровне, когда объявляют формализованное доказательство единственной подлинной гарантией надежности математического рассуждения.

5. Геометрическая очевидность. Это тот вид очевидности, который позволяет нам уверенно утверждать, что две прямые пересекаются в одной точке или что через две точки можно провести только одну прямую. Геометрическая очевидность отличается от арифметической тем, что она непосредственно связана с представлениями о пространстве, которые имеют лишь косвенное значение для арифметики и алгебры. Она имеет дело с предметами, важнейшим качеством которых является их непрерывность.

В элементарных случаях геометрическая очевидность имеет аподиктический характер, т. е. она не может быть подвергнута сомнению в своей надежности. Пусть, к примеру, мы доказываем утверждение, состоящее в том, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника с тем же основанием и с той же высотой, посредством мысленного разделения площади параллелограмма на части и составления из этих частей равновеликого прямоугольника. Может ли какое-либо более строгое рассуждение в будущем поколебать надежность нашего рассуждения и основанный на нем вывод? Конечно, нет. Мы отклонили бы всякое как угодно изощренное рассуждение как софизм, если бы оно не подтверждало наш вывод, проистекающий из наглядных операций с фигурами. В этом смысле геометрическая очевидность совершенно аподиктична, ибо она, как и арифметическая, не может быть отвергнута или скорректирована на основе какого-либо логического анализа.

Надежность геометрической очевидности, однако, часто ставилась под сомнение. Ниже мы специально остановимся на рассмотрении этого вопроса. 6.

Логическая очевидность. Мы обнаруживаем наличие этого вида очевидности прежде всего в непреложности логических норм, определяющих реальное математическое рассуждение. Студент-мате мати к понимает доказательство своего преподавателя без какого-либо специального знакомства с логикой. Преподаватель, доказывая теорему и тщательно разъясняя относящиеся к делу понятия, обычно ничего HQ говорит о правилах логики. Он предполагает (и он не ошибается в этом!), что каждый из его слушателей воспринимает логические переходы как непосредственно очевидные и что эта очевидность непреложна в том смысле, что эти переходы не могут стать предметом дискуссии. Если доказано, что из А следует В, а из В следует С, то никто не будет подвергать сомнению, что из А следует С.

Логическая самоочевидность проявляется также в нашей способности однозначно фиксировать состав свойств, заключенных в определениях. Когда в процессе доказательства мы говорим, что объект А обладает свойством В по определению, то мы выносим заключение, обладающее безусловной аподиктической очевидностью, проистекающей из нашей способности однозначно фиксировать состав определения. 7.

Очевидность структурного тождества. Этот вид непосредственной очевидности имеет место в каждом шаге математического рассуждения, где мы подводим некоторую ситуацию под определенное правило. Во всех таких случаях мы прежде всего фиксируем, что общая структура рассматриваемого выражения тождественна структуре (схеме), выраженной правилом. Акт подведения под правило не может быть рационализирован или формализован: он всецело базируется на нашей способности непосредственного отождествления структур на основе аподиктической очевидности. Здесь мы можем только сказать: «Смотри и убедись, что структура преобразуемой формулы именно та, которая требуется правилом». На самоочевидности структурного тождества основано установление всякого рода соответствий (изоморфизмов, гомоморфизмов ит. п.) между математическими объектами. Этот тип очевидности является, несомненно, аподиктическим и доказательным.