3. Математическая форма причинного закона

= к, ...)(*= 1, 2,...»>.

Согласно математической теории дифференциальных уравнений, если значения динамических переменных известны для настоящего момента времени t = 0, то можно предсказать их значения для любого прошедшего или будущего времени t Все законы такого типа называются причинными законами.

= /7Л(?1, ... где. ... —любые переменные, определяющие состояние физической системы во время t

Отложим пока рассмотрение общего принципа причинности, подчеркнув при этом только то, что вера в этот общий принцип опирается на применимость его для конкретных астрономических систем, для которых — суть координаты и скорости материальных точек, а функции Fk заданы простыми математическими формулами, выведенными из ньютоновских законов тяготения. К тому же во всех применениях, которые действительно могут быть осуществлены, число п является малым; другими словами, начальные условия для настоящего времени t — 0 дается в простом виде,

Исходя из этих простых допущений с помощью обычных средств математического анализа, можно вычислить бесконечно большое многообразие возможных действительных орбит небесных тел. Причиной успеха была простота законов по сравнению со сложностью наблюдаемых фактов.

Однако если мы будем рассматривать Fk как произвольные функции и формулировать сложные начальные условия, то причинный закон = ^(ii, .. -

?лг) может выполняться, но не будет гарантировать такого же успеха. Может случиться, что закон будет столь же сложным, как и наблюдаемые факты. Тогда нет никакого преимущества в замене непосредственного описания наблюдения другим «не непосредственным» описанием, называемым законом, которое ни в каком случае не является более «простым, чем непосредственное описание.

Наша задача теперь состоит в том, чтобы исследовать роль общего закона причинности, когда мы больше не имеем дела со специальным случаем астрономии, но допускаем, что F& и начальные условия как угодно сложны. Чтобы преодолеть это затруднение, Лаплас ввел свой верховный разум, для которого, как предполагалось, общий случай ввиду его все преодолевающих способностей так же прост, как и обычная астрономия для людей. Принцип причинности говорит в этом случае, что существует верховный разум, который знает все начальные значения динамических переменных, знает все функции Fk и является таким совершенным математиком, что может путем решения дифференциальных уравнений предсказать все будущие значения динамических переменны* состояния.

Мы не должны забывать, что верховный разум был введен Лапласом в формулировку причинности. Он, конечно, не думал, что этот разум играл существенную роль в формулировке причинности.

Это, однако, не так просто, как кажется. Мы должны сказать: существуют функции Fk, зависящие от переменных ... |ft, которые обладают тем свой-

d^u „

ством, что = rk, что и позволяет нам предсказывать

значения в будущем, исходя из значений h, ... |лгв настоящее время. Но если мы не знаем конкретно, каковы эти функции, то самое существование таких функций означает только, что значения |ft в будущем как-то «определяются» начальными значениями, или,

t

другими словами, производные lk повремени определяются самими Если мы не вводим верховный разум, который «знает» функции Fk или ясно представляет формулу для Fht то слово «определяется» может значить только, что мы допускаем некоторое свойство Fk, которое ограничивает их возможный выбор. Это похоже на то, что мы узнали в гл. 4 («Законы движения»), а именно что законы Ньютона становятся практически полезными только тогда, когда мы добавим предположение, что «силы» суть «простые» функции координат. Если мы интерпретируем, как делаем в этом параграфе, механику Ньютона как систему причинных законов, то это значит, что Fu суть простые функции ряда |i, ... Если мы допустим произвольно сложные функции Fp (?1, ... In), то простое утверждение «существования» было бы не утверждением о фактах, а тавтологическим утверждением, которое нельзя было бы опровергнуть никаким экспериментом.

И в том и в другом случае мы всегда можем рассматривать значения ?ft в будущие моменты времени как функции t и начальных значений: если мы припи- тем значениям t какие-либо произвольные значения то зависимость всегда может быть описана с помощью формулы. Приписывая причинному закону действительную возможность предсказания будущего, необходимо ввести в рассмотрение неопределенное качество «простоты», которое, конечно, зависит от психологического и социологического статуса ученого в определенный период. «Простая» формула обозначает в этом контексте «рабочую» формулу. Поскольку «предсказание будущего обычными людьми» является деятельностью, целиком находящейся в пределах человеческой деятельности, постольку критерий «простоты» может быть применен к причинному закону, хотя он и зависит от психологических и социологических соображений относительно того, является ли определенный закон «простым».