5. Логика как механизм дедукции

Механизм действия логики как средства дедукции проистекает из ее связи с понятием абсолютной истины.

По отношению к математике нетривиальным является вопрос об отношении логики к внелогическим средствам дедукции. Ясно, что математический вывод основывается не только на правилах логики. Математическое рассуждение существенно опирается на собственно математические очевидности и, в некоторых случаях, оно может быть свободным от логики. Переходы от рдной формулы к другой, основанные на определениях объектов, не требуют применения собственно логических схем. Так, переходя от выражения (а + b\){a — 6i) к выражению а2 + б2, мы опираемся исключительно на определения правил действия с действительными числами и с мнимой единицей. В этом переходе мы не используем каких-либо правил логики, хотя здесь несомненно присутствует предельно надежная дедукция. Многие достаточно объемные математические рассуждения основаны целиком на такого рода предметных определениях и не содержат в себе каких- либо логических правил.

Некто может сказать, что при переходе от (а + 6і)(а — 6і) к а2 + б2 просматривается правило силлогизма, выражаемое формулой: ((А —+ В) (В С)) —+ (А —? С). Нетрудно, однако, видеть, что это правило появляется здесь лишь постфактум, только в качестве итоговой схемы, но не в качестве схемы, обосновывающей шаги доказательства, так как каждый шаг доказательства здесь полностью определен ссылкой на интуитивно ясное математическое определение.

Являются внелогическими все доказательства, связанные с построением. Осуществляя построение, мы опираемся только -на свойства объектов, которые используются в построении и не обращаемся к логической дедукции как таковой. Являются внелогическими и все геометрические доказательства, основанные на непосредственно очевидных геометрических преобразованиях.

Таким образом, надо признать, что в математическом мышлении имеется существенно внелогический компонент, обеспечивающий, тем не менее, надежную дедукцию.

Эти факты позволяют нам понять рациональный смысл интуиционистского истолкования логики. Интуиционистская математика, если посмотреть на нее с точки зрения соотношения математики и логики, является не чем иным, как попыткой полного освобождения математики от логики, попыткой представить математику как систему выводов, опирающихся только на собственно математические интуиции. Брауэр склонен был думать, что математическое рассуждение внелогично по своей природе, и что оно может двигаться исключительно на основе внутренних очевидностей, определяемых понятием построения. Правила логики понимаются, с этой точки зрения, только как схемы математических доказательств, выявленные в практике конструктивного рассуждения.

Сама практика интуиционизма показала, что возможности внелогических средств недостаточны и что для представления математики во всей ее значимой части мы нуждаемся также и в формах чистой логики.

Правильное решение вопроса о месте логики в математике должно исходить из понимания общих целей математического мышления. Если мы вправе предположить, что в своем историческом развитии математика стремится к построению максимально богатой совокупности непротиворечивых систем, способных быть основой моделирования реальных связей и процессов, то ясно, что оно будет опираться на любые очевидности, полноценные в дедуктивном отношении и будет использовать их в максимальных пределах, в плане реализации этой общей задачи. Математические и логические интуиции представляют собой два глубинных корня математического мышления, два независимых измерения, определяющих возможности расширения сферы математического мышления.

Это значит, что математическое мышление имеет двоякую интуитивную основу: оно опирается одновременно и на собственно математические (предметные) очевидности, и на логические (нормативные) очевидности, проистекающие из общих целей мышления. Математика с этой точки зрения является соединением логики как чи- стой нормативности с идеально предметными представлениями, порожденными деятельностью.