. Проблема разделения

Как мы выяснили, логика строго отделяется от математики по признакам аналитичности-синтетичности и нормативности-теоретичности. Мы можем углубить это разделение через рассмотрение таких качеств логики, как универсальность, конечность и содержательность.

Логика как универсальное знание противостоит математике как системе частного знания.

Важной характеристикой логики является ее конечность. Логическая трактовка класса безразлична к его содержанию, в частности, она безразлична к разделению конечного и бесконечного, которое включено в самые элементарные математические понятия. Для того чтобы от логического понятия класса, мы могли перейти к понятию числа или множества, мы должны прибавить к этому понятию определения количества и порядка, т. е. систему допущений, связанную с идеей бесконечности. Редукция математики к логике не может быть реализована без явного или неявного включения в логику предметных (математических) понятий и принципов, связанных с бесконечностью. Несостоятельность установки логицизма следует, таким образом, из самого статуса логики как системы понятий, не связанной с идеей бесконечности.

Логика отличается от математики как знание содержательное (интуитивное) от знания формального. Математическая теория является формальной по своей сути, поскольку полнота ее аксиом и богатство ее внутренних определений составляют главное условие ее эффективности. Исходя из определенного класса интуиций, математическая теория развивается в сторону логической законченности принципов и полноты внутренних определений, которые в конечном итоге всегда выходят за пределы первичной интуитивной ясности.. Формальные принципы для логики, как мы установили, являются лишь внешней и неадекватной формой. Реальная логика функционирует только как система интуитивно ясных принципов, относящихся к языковым категориям. Она не вводит производных определений и, как таковая, не может быть адекватно представлена в форме теоретической дисциплины.

Принципы логики и принципы математики различны по своему содержанию. Принципы логики говорят не об объектах, а только о языковых формах, они говорят только об объемах понятий и об их связях по включению, т. е. о классах, безотносительно к их конкретным содержательным характеристикам. Логика отделена от математики как учение о языке от учения о реальности, как система аподиктических требований, относящаяся исключительно к форме языка, от понятий и суждений, имеющих предметное содержание.

Логика, в отличие от математики, является беспредпосылочным знанием: она обусловлена только самим фактом языкового мышления и ни в какой мере не зависит в своих формах от математики или какой- либо другой науки. Она требует автономного обоснования, независимого от допущений частных наук. С этой точки зрения является полностью несостоятельной интуиционистская идея выведения логики из математической практики.

Мы, таким образом, должны настаивать на сущностном различии логики и математики. Логика противостоит математике как знание универсальное — знанию специальному, как знание аналитическое — знанию синтетическому, как знание содержательное — знанию формальному и, наконец, как знание нормативное и телеологическое — знанию предметному и отражательному. Логика и математика — дисциплины, находящиеся в принципиально различных измерениях и независимые друг от друга в своей интуитивной основе.

Традиционное объединение логики и математики как единой системы знания, противостоящей знанию, основанному на опыте (Matesis universalis у Лейбница и Гуссерля, формальное знание у Грассмана) имеет смысл, но оно скрывает важную границу внутри самого этого единства, проходящую между логикой и математикой как аналитическим и, соответственно, синтетическим знанием. Эта граница была отмечена Кантом, но не была разъяснена им в достаточной степени. Праксеологическая трактовка логики позволяет увидеть глубинные основания этого различия и провести четкое разделение математики и логики как наук принципиально различного типа.

Логика, в действительности, не более близка к математике, чем к любой другой науке. Убеждение в особой связи логики с математикой, в особом генетическом родстве этих дисциплин — методологическое заблуждение, проистекающее исключительно из более регулярного использования правил логики в математических рассуждениях. Математика не выводится из логики, точно так же как логика не выводится из математической практики. Адекватная программа обоснования математики должна исходить из понимания логики как универсально нормативной структуры, стоящей над всеми науками, которая абсолютно первична перед математикой и не нуждается в ней в плане своего обоснования.

Эти общие соображения позволяют нам сформулировать простые критерии, решающие проблему разграничения в некоторых важных случаях.

Анализ аксиомы выделения позволяет, напротив, отнести ее к суждениям обладающим логической истинностью. Суть этой аксиомы состоит в утверждении того положения, что для любого множества А и для любого хорошо определенного предиката В, существует множество членов х множества А, удовлетворяющих предикату В. Нетрудно видеть, что эта аксиома является конкретизацией применительно к понятию множества правила определения через род и вид, которое необходимо для мышления о всяком предмете. При определенности предиката В для всякого отдельного элемента и при истинности закона исключенного третьего, гарантирующего возможность поэлементной проверки любого множества, полное задание множества В становится всегда достижимым. Аксиома выделения может быть понята, таким образом, как результат применения универсального логического принципа к предметной сфере, которая заведомо гарантирует условия его выполнимости. Мы видим, что истинность аксиомы выделения в отличие от аксиомы выбора обусловлена только общими логическими требованиями, предваряющими определение любого математического объекта.

Из онтологической концепции логики следует также требование универсальности, состоящее в том, что собственно логические принципы не должны содержать в себе предикатов, замена которых на другой предикат приводила бы к потере их истинности. В качестве некоторого рода пограничного случая здесь можно рассмотреть аксиомы равенства, выражаемые следующими двумя положениями: 1.

х = х\ 2.

x = y->(F(x) = F(y)).

Если мы будем рассматривать эти положения сами по себе или в составе чисто логического исчисления, то они будут рассматриваться как логические аксиомы, определяющие производную логическую константу «=», относящуюся к предметам и свойствам вообще. Сомнение возникает в том случае, когда эти равенства включены в математический формализм, в котором присутствуют независимые от логики собственно математические определения равенства (через процедуру счета, измерения и т. п.). В этом случае аксиомы равенства могут быть поняты как утверждения, задающие общую схему этих частных определений равенства и, таким образом, как общие математические принципы. Мы имеем здесь определенную двойственность, состоящую в том, что одни и те же аксиомы могут рассматриваться одновременно и как логические принципы, относящиеся к объектам и предикатам вообще, и как аналитические суждения, раскрывающие общую идею определенного класса математических определений. Ясно, однако, что между этими интерпретациями не может возникнуть противоречий. Мы исходим здесь из того, что любое математическое равенство включает в себя идею рефлексивности и транзитивности и, таким образом, предполагает истинность указанных аксиом. Это значит, что мы имеем здесь дело с универсальными логическими принципами, имеющими нормативное значение для математики.

Куайн высказывает мнение, что аксиомы равенства являются «более логическими, чем математическими». Его основной аргумент состоит в том, что эти аксиомы, будучи присоединены к элементарным логическим исчислениям, не нарушают их полноты39. Характеристики «более» и «менее», однако, мало приемлемы для строгого" разделения логического и математического знания. Аргумент «от полноты» важен, но он относится к пониманию логики как исчисления и не имеет подлинного гносеологического характера. Достаточно очевидно, что принципы, решающие проблему разделения логики и математики в данном случае, могут быть только гносеологическими, опирающимися на сущностные характеристики логического знания.

Определение сферы реальной логики требует ее выделения из сферы логических исчислений, а также и отделения от общих математических истин, оправданных на основе аподиктической очевидности. Проведенное рассмотрение показывает, что эти границы имеют существенно различный характер. Если первая из них устанавливается только на основе критерия аподиктической очевидности, то вторая, как представляется, может быть определена на основе рациональных признаков, проистекающих из общего понимания реальной логики. Есть основания думать, что в рамках теории познания мы можем обосновать достаточную систему такого рода признаков и сделать границу между логикой и математикой не менее ясной, чем граница между логикой и эмпирическими науками.