2. Исключение формальных обобщений

Простым примером в этом отношении являются многозначные логики.

Не относится к реальной логике и такая логическая конструкция, как логика многоместных предикатов. Строгая запись математических утверждений в ряде случаев требует использования символики многоместных предикатов. Утверждение, что для любых двух точек х \л у, лежащих на прямой, найдется точка z, равноудаленная от них обоих, может быть записано формулой (x)(y)3z B(xjy,z)f где предикат В означает трехместный предикат «быть равноудаленным». Если это утверждение истинно для определенных x, у И z, то для них будет заведомо ложным утверждение B{x,z,y) и мы можем написать истинную формулу: -^ЗхЗуЗг (B{z)x)y)8^B(x) z,y)), которая является теоремой геометрии. Однако сама эта запись, будучи вполне корректной, не дает нам средств вывода, принадлежащих логике многоместных предикатов. Это и понятно: чистое логическое следование может основываться либо на свойствах логических отношений между высказываниями, которые зафиксированы в логике высказываний, либо на свойствах кванторов, которые определены аксиомами узкого исчисления предикатов. Других оснований для чисто логического перехода не существует. Логика отношений, таким образом, играет,в математике экспликативную роль и приобретает дедуктивное зна^ние только в том случае, когда применяется как математическая структура, описывающая конкретные множества с заданными отношениями типа симметричности, транзитивности и т. п. С этой точки зрения мы можем утверждать, что логика отношений, введенная Д. Шредером и Б. Расселом, которая была воспринята многими философами в начале XX века как существенное обогащение традиционной логики, является, в действительности, специфической метаматематической теорией, полезной для аксиоматического построения арифметики и теории множеств, но никак не расширяющей сферы реальной логики.

Аналогичное соображение справедливо и для логики предикатов высших порядков.

Развитие математической логики совершенствует логику как средство описания математических форм, как базу для теории формальных определений, как систему понятий, необходимых для анализа доказательства ит. п., но оно не обогащает системы собственно логических истин, не увеличивает системы аподиктически очевидных схем, определяющих шаги доказательства. Реальное математическое рассуждение опирается только на интуитивно ясные формы, которые в полном своем объеме зафиксированы в традиционной логике.