3. Реальная логика и естественные исчисления

Анализ математической практики показывает, что существует совсем небольшое число самоочевидных логических форм (схем), которые лежат в основе любого доказательства. Это такие формы, как закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон транзитивности следования, закон контрапозиции, правило приведения к абсурду и т. п. Если прибавить к этим простым схемам логики высказываний формулы, выражающие силлогистику и схемы непосредственных умозаключений на основе кванторов, то мы получим фактически все логическое оборудование математики, т. е. всю систему логических норм, которая определяет ход содержательного математического доказательства и его аподиктическую непреложность. Эта простая и безусловно конечная система норм, данная нам с аподиктической очевидностью, и составляет истинное содержание реальной логики в отличие от различного рода формальных исчислений.

В истории логики мы видим постоянное колебание в определении ее объема. Для Канта вся логика сводилась к силлогистике. Он был убежден в том, что всякий дедуктивный метод — это силлогистический метод. В XIX столетии это мнение существенно изменилось. К логике были отнесены все формальные логические исчисления, которые были истолкованы как расширение принципов реального мышления. Л. Кутюра в своей «Алгебре логики» (1906) утверждал, что истинной логикой математики является логика отношений, установленная Расселом35. М. Шлик в «Общей теории познания» (1925) возвращается к позиции Канта. «Современная логика в форме, развитой Б. Расселом, — пишет Шлик, — несомненно, предлагает нам более удобные процедуры вывода, чем силлогистика. За пределами этого, однако, все аргументы, направленные против доминирующей роли силлогизма, доказывают только то, что в действительном мышлении человек не движется вперед посредством силлогизма — и это в действительности неопровержимый психологический факт. Но они не в состоянии опровергнуть тезис, что представление абсолютно строгой системы истины, поскольку это представление подразумевается абсолютно строгим и полным, может всегда быть выполнено в форме силлогизма»36.

Шлик здесь не совсем прав. Реальная логика существенно шире силлогистики по своему объему. Законы логики высказываний, постоянно используемые в математических доказательствах, не могут быть сведены к силлогистике. Однако в приведенном высказывании содержится важная мысль, состоящая в том, что логические исчисления, полезные для экспликации математических утверждений и теорий, не могут рассматриваться как однопорядковые с реальной логикой. Логика реального вывода более бедна и ограничена в своем объеме.

Реальная логика является не только конечной, но и в определенном смысле законченной наукой. Если логика как наука о логических принципах, несомненно, развивается и постоянно обогащается новыми положениями, то логика как система принципов, фактически определяющих вывод, как система дедуктивно значимых интуиций, порожденных практикой, является исторически стабильной, предельно устойчивой в том смысле, что она не может быть устранена или видоизменена под влиянием каких-либо достижений в науке или в практике. Это обстоятельство подтверждается и историей математики. Анализ «Начал» Евклида показывает, что в них используются совершенно те же логические средства, что и в современных математических доказательствах, причем — все эти средства. Мы можем с полной определенностью утверждать, что несмотря на многообразие и сложность современных математических теорий, реальное рассуждение современного математика в плане логики ничем не отличается от мышления таких математиков как Гиппократ и Евклид: в том и другом случае оно движется в очень узком кругу аподиктически очевидных норм, таких, как закон непротиворечия, закон исключенного третьего и т.д.

Историческое развитие логики как науки совершенствует средства теоретического анализа доказательства, но не средства самого доказательства. Реальная логика по своей сути является абсолютным и инвариантным компонентом человеческого мышления.

Классические логические исчисления являются, несомненно, более близкими к реальной логике, чем различного рода формальные конструкции типа многозначных логик и т. п. Их можно назвать естественными исчислениями, так как они эксплицируют понимание логического следования, лежащее в основе реальной логики. Исчисление высказываний содержит в себе все возможные схемы умозаключений, не нарушающие принцип «из истинного следует только истинное». Это исчисление имеет гносеологическое значение, ибо оно может быть понято как отрицательное определение истины, очерчивающее границу, за которой рассуждение является заведомо ложным.

Но и естественные исчисления не определяют состава реальной логики. Это ясно уже из того, что все такие исчисления содержат в качестве универсально истинных утверждения, противоречащие интуиции логического следования. Для исчисления высказываний это такие формулы как А —> (В —> А), А&А —> В и др., известные под наименованием парадоксов материальной импликации. Это значит, что множество принципов реальной логики представляет собой лишь некоторое конечное и формально неопределяемое подмножество тавтологий естественного исчисления, которые выделяются только на основе критерия аподиктической очевидности.

Многие логики, однако, не согласятся с таким заключением. Они верят, что система норм реальной логики может быть выявлена и строго определена посредством некоторых простых ограничений, наложенных на естественные исчисления. Эта идея лежит в основе так называемых релевантных логик. Опираясь на понятие семантической информации, А. Андерсон и N. Белнап предложили новые варианты элементарных логических исчислений, которые, по их мнению, полностью соответствуют интуиции реального вывода. Аналогичные подходы были предложены Е.К. Войшвилло37.

Формальный успех здесь имеет место, так как эти исчисления уже не содержат парадоксальных формул, противоречащих интуиции реального вывода. В целом, однако, этот путь уточнения реальной логики представляется бесперспективным. Любое логическое исчисление содержит в себе бесконечное число форм и заведомо не содержит критериев, выделяющих формы реальной логики. Здесь неизбежно возникает проблема сравнения различных исчислений друг с другом по их адекватности в отношении реальной логики, которая неразрешима в рамках формального подхода. Мы не можем определить объем реальной логики посредством анализа исчислений и их внутренних критериев.

Будучи основой всякой рациональности, реальная логика является в принципе иррациональной и неформальной: ее содержание не может быть адекватно определено в каких-либо символических и теоретических системах. Существует только один подлинный критерий, очерчивающий область реальной логики, — критерий аподиктической очевидности. Система реальной логики дана человеческому мышлению исключительно на уровне аподиктической очевидности^' как последнее основание мышления, не допускающее внутреннего теоретического определения.

Иррациональность реальной логики не означает ее смутности или неопределенности. Уяснение сущности аподиктической очевидности позволяет понять, что определенность на основе аподиктической очевидности является высшей степенью определенности, той определенностью, которая лежит в основе всякой другой определенности в системе человеческого знания.

4