Аподиктическая очевидность как основа доказательства

Любое математическое доказательство может быть разбито на части, на отдельные шаги, опирающиеся только на непосредственную очевидность. Если некоторый шаг доказательства не очевиден для нас или для тех, для кого мы доказываем теорему, то это шаг нуждается в дальнейшем разъяснении, в редукции к еще более тривиальным очевидностям.

Начиная с Декарта, математическое рассуждение связывается с представлением об абсолютной (некорректируемой) очевидности. В кантовской концепции математики аподиктическая очевидность определяет все элементы математического мышления. Математика, по Канту, самоочевидна в своих исходных объектах, которые даны in concreto в чистом априорном созерцании, она самоочевидна в системе своих исходных принципов (аксиом) и, наконец, она самоочевидна в своих доказательствах, поскольку, согласно Канту, «математические доказательства всегда протекают под руководством чистой интуиции, на основе всегда очевидного синтеза»9.

Современная математика, конечно, не является в такой мере подчиненной требованию очевидности. Практика современного математического мышления требует только логической строгости в определении объектов и не предъявляет никаких требований относительно их непосредственной данности сознанию. Рассуждения в неевклидовой геометрии или в нестандартном анализе с самого начала исходят из утверждений, противоречащих интуиции. С современной точки зрения и аксиомы, и объекты математического рассуждения должны быть лишь логически определенными в том смысле, что они должны быть выражены в терминах, допускающих редукцию к аподиктически очевидным или постулативно определенным объектам. В настоящее время мы хорошо понимаем, что требование самоочевидности аксиом и определений проистекало из узости взгляда традиционной философии математики и неприменимо к практике современного математического мышления.

Мы должны сохранить, однако, кантовский тезис о безусловной очевидности математического доказательства. Несмотря на возможную неочевидность объектов и аксиом само доказательство как система шагов, ведущих от посылок к следствиям, всегда должно оставаться прозрачным, ибо как уже сказано, неочевидные переходы не могут быть приняты в качестве доказательных: всякий шаг доказательства, претендующего на надежность, должен быть совершен либо в соответствии с аподиктически ясным правилом логики, либо на основе аподиктически ясного состава определения, либо на основе аподиктически очевидных преобразований содержательных посылок (аксиом).

Доказательство, аподиктически очевидное в каждом своем шаге, не может быть дезавуировано каким-либо контрпримером или последующим анализом доказательства. Будучи выполненным и подтвержденным математическим сообществом, оно представляет собой абсолютный факт наличия логической связи, с которым должно считаться всякое другое построение в данной теории. Вопрос о том, достижимы ли в математике законченные доказательства, сводится к вопросу, обеспечивает ли естественная эволюция математического доказательства полное очищение его от ассерторических очевидностей.

Теория в процессе своего развития может существенно изменять состав своих базовых очевидностей. В элементарной геометрии мы исходим из непосредственной очевидности пространственных объектов и их свойств. Символы еще не играют здесь существенной роли. Переходя к аналитическому изложению геометрии, мы отодвигаем геометрическую наглядность в сторону, заменяя ее непреложностью аналитического (знакового) рассуждения. В неевклидовых геометриях связь с пространственной очевидностью разрывается почти полностью. Хотя мы продолжаем здесь опираться на чертежи, но они уже не обладают здесь той авторитарностью, которой они обладали в элементарной геометрии: чертеж выступает здесь лишь в качестве условной иллюстрации и мы не можем предъявлять здесь каких-либо претензий к доказательству, исходя из наглядного представления фигуры. На первое место здесь выдвигается логическая и предметная очевидность.

Различные математические теории, таким образом, в зависимости от содержания и уровня абстрактности могут опираться на различные типы аподиктических очевидностей.

Принципиально важно, однако, то, что мы не можем избавиться от очевидности полностью: ни одна математическая теория не может быть построена без опоры на некоторый тип непосредственной очевидности. Аподиктическая очевидность — необходимая предпосылка любого строгого рассуждения и основа его надежности.

Выступая против геометрической наглядности, многие математики в начале XX века ставили задачу освободить математическое доказательство от всякой очевидности и свести его к системе всюду контролируемых логических шагов. При этом упускался из виду тот простой факт, что сама логика также покоится на некоторого рода непосредственной очевидности и что применение ее к цепочкам символов предполагает очевидность структурного тождества. В одной из своих ранних статей Б. Рассел заявлял, что сведение всей чистой математики, включая геометрию, к формальной логике, является роковым ударом для философии Канта, так как показывает возможность геометрических доказательств, не опирающихся на чертежи10. Это, конечно, верно в том смысле, что доказательства в формализованной теории не связаны с признанием истинности посылок на основе чертежа. Рассел, однако, рассматривает устранение геометрической наглядности как устранение очевидности вообще и даже как устранение самой проблемы очевидности из философии математики. Он не ставит вопроса о надежности тех очевидностей, на которых основано чисто символическое доказательство. Кант здесь более близок к истине. В настоящее время мы хорошо понимаем, что математическая теория не может существовать, не опираясь на тот или иной тип аподиктической очевидности11.

Существуют две математические теории, полностью удовлетворяющие кантовским требованиям к очевидности. Это арифметика и евклидова геометрия. Это генетически первичная и логически фундаментальная часть математики, имеющая вневременное значение. Она некорректируема и безусловно предшествует всем другим утверждениям и конструкциям в математике. Мы будем говорить в дальнейшем об этих теориях как об априорной части математического знания или об априорном центре математики.

Современная математика несравненно шире своей априорной части, основанной на аподиктически очевидных принципах. Существует множество геометрических систем, в которых обычная геометрическая наглядность неприменима, существует математический анализ, где теорема Больцано-Коши неверна и т. п. И тем не менее априорная математика была и остается истинной основой математической науки. Обычная арифметика и евклидова геометрия — не просто элементарная часть математики, но базовый круг очевидностей, к которому в конечном итоге редуцируется любое математическое рассуждение. В этом смысле элементарная математика была и всегда останется методологической основой математического мышления. И в тех теориях, в которых мы уходим от самоочевидности объектов и аксиом, мы продолжаем двигаться в рамках априорных очевидностей логики и элементарной математики. Только эти исходные очевидности, принадлежащие к генетическому центру математики, дают нам уверенность в правильности выводов на всех уровнях математического мышления.

Это дает нам возможность утверждать, что сфера математики определяется множеством выводов, редуцируемых к аподиктической очевидности. В этом плане мы можем определить математику как мышление на уровне аподиктической очевидности.

Аподиктическая очевидность — это генетическая основа математики, необходимый элемент содержания каждой математической теории и, наконец, необходимая основа любого математического рассуждения в том смысле, что любое доказательство приобретает для нас понятность и непреложность ровно в той мере, в которой оно редуцируется к уровню аподиктической очевидности. Отсюда ясно, что обоснование надежности математического доказательства — это не проблема логики, а прежде всего эпистемологическая проблема, связанная с прояснением природы аподиктической очевидности.