Программа конструктивизма: математика как создание потенциально доказуемых конструкций

К конструктивистам XIX в. относят Э. Бореля, JI. Кронекера и А. Пуанкаре. Начиная с 1907 г. конструктивизм в форме интуиционистской программы обоснования математики систематически развивался голландским математиком JL Э. Я. Брауэром и продолжает модернизироваться его последователями и в настоящее время. Согласно Брауэру, математика — наука об интуитивно очевидных конструкциях и в своем развитии полностью освобождается от диктата логики и языка. Утверждения классической математики «существует объект Л: со свойством Р» не конструктивны и должны быть заменены утверждениями типа «я выполнил построение К, доказывающее наличие объекта jc со свойством Р». Любое математическое суждение утверждается только тогда, когда имеется его доказательство. Утверждения согласно закону исключенного третьего «либо число х обладает свойством Р, либо х не обладает свойством Р» незаконны, пока не будут построены доказательства обеих альтернатив.

Логика никак не связана с математикой и поэтому ничего не говорит и не может сказать о ней. Логика — механическая по своей сути имитация реального математического языка, ее стенографический отчет. Сам язык не принадлежит математике, он всего лишь несовершенное средство общения между математиками, сохранения полученных результатов. Использование математиками языка и логики может быть оправдано только практическими, но не теоретическими соображениями.

Центральное место в интуиционистской математике занимает идея бесконечной последовательности свободных выборов и основанная на ней теория континуума. Понятие бесконечной последовательности свободных выборов означает возможность в произвольном порядке приписывать каждому члену некоторой последовательности определенный предикат (например, натуральное число в качестве номера члена последовательности). Брауэр доказывает фундаментальную теорему интуиционистской математики, указывающую условия, при которых можно построить континуум действительных чисел.

В 40 гг. XX в. работы А. А. Маркова и его учеников положили начало отечественной версии конструктивизма. Марков отверг идею Брауэра о математике как свободном творении человеческого ума, но сохранил допущение о потенциальной бесконечности ее объектов, необходимости конечных и эффективных доказательств согласно особой конструктивной (фактически интуиционистской) логике.

В 40-50 гг. XX в. сформировалась еще одно направление конструктивизма, альтернативное интуиционистскому, которое связано с именем американского математика Э. Бишопа. Вместо бесконечной последовательности свободных выборов Бишоп предпочитает говорить о последовательностях, генерируемых каким-нибудь объективным случайным процессом, например, бросанием монеты или игральной кости. Другое отличие связано с возрастающим интересом к вычислительным процедурам математики, компьютерному решению математических проблем, к созданию программ, позволяющих получать новое математическое знание.

Следующие положения являются общими для неклассических математиков всех разновидностей: •

Объектами математики должны быть только конечные структуры, что делает математические операции на них эффективными (вычислимыми).

Определения математических объектов не должны содержать ссылки на те множества, элементами которых они являются (тем самым запрещаются так называемые непредикативные, т. е. содержащие порочный круг, определения). •

Теоремы, утверждающие существование определенных математических объектов, должны быть доказательствами, содержащими способы их построения. Истинно то, что доказуемо; ложно то, из предполагаемого построения чего следует противоречие (абсурд, нелепость). Значит, относительно произвольного математического суждения нельзя a priory утверждать, что оно либо истинно, либо ложно. Следовательно, закон исключенного третьего в общем (в бесконечной области объектов) не верен. •

Интуиционистская версия неклассической математики Брауэра и его школы дополнительно отстаивает следующие тезисы: ?

Объекты математики — ментальные конструкции, непосредственно схватываемые разумом и интуитивно очевидные для него. Язык и мышление — подчиненные и второстепенные средства математического мышления, необходимые лишь для выражения и трансляции результатов интуиции. ?

Математика — свободное творение ума, основанное на интуиции времени. Ее основу составляет единство базисной интуиции времени, абстракции потенциальной бесконечности и принципа полной индукции. Интуиционистская математика во многом несовместима с классической. ?

Математика не зависит от опыта, логики и языка. Логика — часть математики и не имеет прямого отношения к умственным процессам. •

Теория нормальных алгорифмов Маркова — отечественная

версия неклассической математики — дополнительно включает

следующие тезисы: ?

Объекты математики — «слова» определенного конечного алфавита знаков и алгорифмы (точные предписания) по их трансформации в другие «слова» этого же алфавита. Длина последовательностей знаков, из которых строятся «слова», не ограничена, но всегда конечна. ?

Алгорифмическое вычисление конечно, если доказано, что оно не может продолжаться бесконечно («принцип Маркова»). Незавершаемые алгорифмические построения запрещаются. ?

Понятие последовательности свободного (т. е. не алгорифми- ческого) выбора Брауэра отвергается. •

Конструктивная математика Бишопа дополнительно включает

следующие положения: ?

Все математические утверждения должны интерпретироваться в терминах теории натуральных чисел. Математика в целом — «язык высокого уровня программирования», ?

Конструктивная математика свободна от философских догм относительно природы своих объектов (допустим любой конструктивный объект). ?

Интуиционистская концепция континуума, основанная на понятии последовательности свободного выбора, ложна, остальная часть математики Брауэра может быть принята. ?

Все утверждения конструктивной математики являются теоремами классической (обратное верно только при отказе от закона исключенного третьего).

В последующем изложении главный акцент сделан на объяснении основных положений интуиционизма Брауэра. Это связано со значительным воздействием этой программы на ход дискуссии по основаниям математики. Остальные программы, несмотря на большую продвинуто сть в решении специальных задач, такого значения еще не приобрели.