Логицизм. Математика как создание логически очевидных конструкций

Одним из самых фундаментальных и вместе с тем удивительных свойств математики называют необходимость ее утверждений. Объясняя это свойство, Лейбниц указал на четыре особенности логических и математических суждений, которые сыграли впоследствии решающую роль в становлении программы логицизма.

Во-первых, логические и математические истины необходимы, потому что их логическое отрицание ведет к противоречию.

Во-вторых, логические и математические истины как истины разума допускают в конечное число шагов редукцию к «тождественным истинам»38. Например, доказать суждение «2 + 2 = 4» означает свести его к тождеству вида «1 = 1». Ненеобходимые (случайные) истины подобны несоизмеримым отрезкам, и их редукция к истинам тождества нуждается поэтому в бесконечном числе шагов и доступна только Богу. В-третьих, редукция логических и математических истин к истинам тождества требует построения формального исчисления для вывода следствий из принятых аксиом. «Мне же, беспокойному, уже давно со всей очевидностью представилось и нечто более важное, а именно, что все человеческие мысли вполне разрешаются на немногие, как бы первичные; что если бы этим последним были поставлены в соответствие характеры (символы. — В. С.), то из них могли бы образовываться характеры производных понятий, из которых всегда могли бы извлекаться все их реквизиты и входящие в них первичные понятия, и то, что я называю определениями или значениями, а равным образом и следствия, доказуемые из этих определений. Если бы все это было осуществлено, то каждый, кто пользовался бы в процессе рассуждения и писания такого рода характерами, либо никогда не ошибался бы, либо сам не хуже других с помощью несложных выкладок обнаруживал свои ошибки; к тому же, он приходил бы к открытию истины, поскольку она следует из данных...»39

В-четвертых, будучи аналитическим по своей сути, критерий необходимости Лейбница придает логике и математике автономный характер, принципиально отделяет их от всех остальных наук. Проблема обоснования логики и математики, в отличие от всех остальных наук, становится сугубо внутренним делом данных дисциплин. Они не нуждаются в обращении к опыту, интуиции, психологии восприятия (познания).

Идеи Канта о синтетическом характере математических суждений, конструктивной природе математического знания, независимости математики от логики не поколебали уверенности логи- цистов конца XIX и начала XX вв.

Програллма логицизма: математика как прололжение логики

Предположение о сугубо внутреннем, т. е. чисто логическом, основании необходимости математики составляет идейную основу логицизма как особой программы обоснования математики. Эта идея объединяет логицистов с Лейбницем. Отличает их тщательность логической разработки этой идеи. Тождественную истину Лейбница, т. е. суждение, в котором объем субъекта полностью включен в объем предиката, Фреге превращает в аналитическое высказывание. Высказывание — аналитическое, если оно выводимо из общих законов логики и связанных с ними определений. Соответственно редукция Лейбница к тождественной истине заменяется Фреге доказательством аналитического характера рассматриваемого высказывания. Доказать, что математика есть часть логики, с логицистской точки зрения означает показать, что все понятия и суждения математики суть .аналитически истинные сущности.

Попытки доказательства аналитического характера математики привели логицистов к созданию новой логики. Именно это следует считать самым важным результатом реализации логицистами своей программы. Детали этой логики (в современном оформлении) изложены в приложении к данной работе. Она существенно отличается от традиционной логики и позволяет решать задачи качественно иного уровня.

Основные тезисы программы логицистов: •

Все понятия математики определяются в терминах понятий логики. •

Все теоремы математики выводятся из логических аксиом.