Эмпиризм и трехмерность пространства

Успехи эмпиризма в оценке нашего знания относительно трехмерности физического мира тесно связаны с его способностью опровергнуть утверждение Канта, что существо-вание таких подобных, но неконгруэнтных двойников, как левая и правая рука, представляет доказательство в пользу его трансцендентального априорного пространства1 (1 И.

Поскольку доказательства несостоятельности этого частного утверждения Канта не даны даже в последовательно (definitive) эмпирической критике Рейхенбахом трансцен-дентальной идеалистической теории пространства и недостаточно известны философской публике, мы приведем их краткое изложение.

Если мы возьмем два объекта произвольной (неправильной) формы на евклидовой плоскости, которые в метрическом отношении симметричны, или зеркально «отражаются» относительно прямой на этой плоскости, то можно будет показать, что, поскольку мы ограничиваем данные объекты этой плоскостью, их нельзя совместить в смысле достиже-ния конгруэнтности так, чтобы точки одного совпадали с соответствующими или воображаемыми точками другого. Однако такая конгруэнтность может быть достигнута, если мы допустим вращение одного из двух отражаемых двухмерных объектов вокруг оси симметрии, используя тем самым следующее (третье) измерение. Лешелье приписал Дельбефу установление следующей закономерности: если даны два (n—1)-мерных объекта, метрически симметричных относительно некоторого (п — 2)-мерного объекта, тогда для достижения их конгруэнтности, то есть того, чтобы точки одного совпали с соответствующими или воображаемыми точками другого, необходимо непрерывное вращение в n-мерном пространстве1 (1 G. Lechalas, L'Axiome de libre Mobilite, «Revue de Мё-taphysique et de Morale», Vol. VI (1898), p. 754. Это свойство отражений было отмечено еще Мёбиусом («Der Barycentrische Calcul», Leipzig, Barth, 1827, S. 184).). Следует отметить, однако, что требование вращения в гиперпространстве не является неограниченным: оно остается справедливым для таких пространств, топология которых является евклидовой или сферической, однако теряет свою справедливость для двух-поверхностной ленты Мёбиуса или для одномерного пространства, топология которого представляет собой топологию цифры 8.

Соответственно этому при помощи непрерывного перемещения фигуры как твердого тела нельзя достигнуть конгруэнтности трехмерной правой руки с трехмерной левой рукой именно в силу того эмпирического факта, что для подобного вида вращений необходимо четырехмерное пространство, которого физически в наличии не имеется. Этот же факт позволяет нам сделать вывод о трехмерности, но не о двухмерности оптически активных молекул на основании того, что они вращают плоскость поляризации света либо вправо, либо влево. Ибо, если бы они были только двухмерными, тогда было бы возможно превратить данную правовращающую молекулу в левовращающую путем только ее поворота (flipping it over). Но этого сделать нельзя.

Вопреки Канту специфическое структурное различие между правой и левой рукой может быть дано и концептуально, а не только как указание на интуитивную характе-ристику3 (3 См.: Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II, М.—Л., 1934, стр. 61—64. Н. W е у 1, Philosophy of Mathematics and Natural Science, pp. 79—85. Более элементарный анализ см. в: О. Holder, Die Mathematische Methode, S. 387—389.): группа движений в евклидовом пространстве, при которых тела сохраняют жесткость, представляет собой только собственную подгруппу группы отображений подобия, в которых сохраняется длина («неудлиняющих»). Ибо определитель коэффициентов частных линейных преобразований, составляющих последний тип отображений подобия, должен быть равен либо +1. либо —1. Но только те отображения подобия, определитель которых («якобиан») равен +1, составляют группу евклидовых движений жестких тел1 (1 Пусть F1 и F2 – две функции от u и ?. Тогда

является функциональным определителем, или якобианом Ft и F2 относительно и и о. В случае трехмерности, .к которому относится неконгруэнтность рук, мы имеем дело с тремя функциями F,, Fz иРдОти, v и w и соответствующий якобиан представляет собой определитель трех рядов и трех колонок. ),

стальные являются отражениями, их якобиан равен —1, и они включают в себя кантовский случай с правой и левой рукой2 (2 Требование сохранения размерности при преобразованиях состоит в том, чтобы якобиан не был равен нулю; последнее условие является необходимым и достаточным для того, чтобы преобразование было взаимно однозначным. См.; R. S. Burington and С. С. Т о г г а п с е, Higher Mathematics, New York: McGraw-Hill Book Co., 1939, pp. 132-142.). Но именно существование последней пары физических объектов в нашем физическом трехмерном пространстве, где реализуются формальные преобразования, якобиан которых равен —1, является эмпирическим фактом, как и несуществование физического четырехмерного гиперпространства, в котором их можно было бы в противном случае развернуть с целью достижения конгруэнтности.

Поскольку трехмерность физического пространства представляет собой с логической точки зрения случайный эмпирический факт, то, естественно, возникает желание узнать, не является ли трехмерность автономным, не сводимым ни к чему эмпирическим фактом по отношению к стандартным формулировкам физической теории или нет. В оптике принцип Гюйгенса говорит нам, что, если единичная сферическая световая волна порождается в некоторой точке возмущением, которое длится в течение очень короткого промежутка времени между

t = t0 — ? и t = t0, тогда эффект, вызываемый ею в точке Р на расстоянии сТ (где с = скорость света), равен нулю вплоть до мгновения t=to —? + Т и вновь равен нулю после мгновения t =to+ Т. Таким образом, согласно принципу Гюйгенса, единичная сферическая волна не оставляет никакого остаточного последействия в точке Р. Далее, Хадамард показал, что этому требованию, выраженному в принципе Гюйгенса, удовлетворяют только волновые уравнения, имеющие четное число независимых переменных. Поскольку независимыми переменными в этих уравнениях являются вре-менная переменная плюс три пространственные переменные, результат, полученный Хадамардом, доказывает, что принцип Гюйгенса сохраняет силу только для случаев, в которых число измерений пространства является нечетным, что и имеет место в случае трехмерного физического пространства нашего мира2 (2 Объяснение этого результата путем ссылки на специальные случаи трех и двух измерений см. в: В. В a k e r and Е. Т. С о р -son, The Mathematical Theory of Huyghens's Principle, Oxford: Oxford University Press, 1939, pp. 46—47.). Разделяя мнение Аристотеля и Галилея, согласно которому трехмерность физического пространства можно объяснить как следствие других более широких эмпирических принципов, Вейль высказал мысль, что различие пространства с четным и нечетным числом измерений относительно распространения волн может послужить ключом к искомому объяснению.

Вопреки широко распространенной интерпретации объяснение Пуанкаре трехмерного статуса пространства вполне совместимо с той эмпирико-реалистической концепцией данных атрибутов физического мира, которая излагается здесь. В своих возражениях Расселу Пуанкаре, не развивая далее своей мысли, говорит: «Я рассматриваю аксиому трех измерений как конвенциональную точно так же, как и аксиомы Евклида». Однако в своей посмертно изданной книге1 (1А. Пуанкаре, Последние мысли, Пг., 1923, стр. 34.) он пишет, что, поскольку его ранняя трактовка этой аксиомы была «очень краткой», он теперь хотел бы разъяснить ее. Затем, объяснив, что при классификации элементов многообразия как тождественных в некотором отношении мы пользуемся «фундаментальным соглашением» об абстрагировании от других качественных различий между ними, он отмечает, что трехмерность перцептуальной локализации физических событий получается в результате абстрагирования от множества качественных непозиционных различий между ними. Однако «соглашение» в этом смысле не лишает трехмерность объективности, равно как и ссылки на некоторые события не превращают конкретные причинные утверждения в истинные только по соглашению. То, что для Пуанкаре это было, по существу, ясно, становится очевидным из следующего его утверждения: «В этом кратком изложении мы показали, каковы те экспериментальные факты, которые заставляют нас приписывать пространству три измерения. Учитывая эти факты, нам более удобно приписать ему три, а не четыре или два измерения; но слово «удобный», пожалуй, в данном случае недостаточно строго; существо, которое приписало бы пространству два или четыре измерения, оказалось бы в мире, подобном нашему, менее приспособленным к борьбе за существование». Объяснив, какие помехи для нас будут возникать при интерпретации пространства, как двух- или четырехмерного, он показывает на основе теоретико-групповых аргументов, что в случае причинных связей физические факты приводят к трехмерности физического пространства точно так же, как и структура перцептуальных данных.

Математическая непрерывность, которая приписывается физическому пространству, является топологическим свойством так же, как и его трехмерность. Поэтому мы завершим наши рассуждения о философских проблемах топологии времени и пространства во II части данной книги исследованием вопроса о том, может ли непрерывность иметь какой-либо эмпирический статус.

В первой главе мы говорили о том, что непрерывность, которая постулируется для физического пространства и времени, выражается в метрической аморфности этих многообразий и определяет тем самым конвенциональный характер конгруэнтности примерно так же, как конвенциональный характер нелокальной метрической одновременности в специальной теории относительности является следствием аксиоматических положений, согласно которым распространение света в вакууме представляет собой наиболее быструю причинную цепь и что часы при транспортировке не определяют абсолютной метрической одновременности. Однако против этого возражают, говоря, что существует важное эпистемологическое различие между по-следним постулатом Эйнштейна и постулированием именно непрерывной, а не дискретной структуры (в математическом смысле) физического пространства и време-ни: постулат непрерывности является справедливым, по определению, и он не может даже в принципе рассматриваться как фактуальное утверждение в смысле проверки его истинности или ложности. Ибо, согласно этому возражению, не существует никаких эмпирических оснований для допущения, что геометрия, постулирующая непрерывные интервалы, имеет преимущество перед геометрией, постулирующей дискретные интервалы, составленные, скажем, только из алгебраических или только из рациональных точек. Возражающий, следовательно, утверждает, что отрицание счетной геометрии последнего типа в пользу несчетной геометрии, провозглашающей непрерывность, не имеет никаких фактуальных гарантий и основывается только на соображениях арифметического удобства в рамках аналитической геометрии. И поэтому утверждают, что топология в такой же степени, как и метрика, должна быть насыщена свойствами, которые определяются конвенциональным выбором. В соответствии с этим сторонники подобных критических замечаний делают вывод, что ошибочно не только подчеркивать, но и вообще говорить о выделении конвенциональных геометрических элементов только в метризации топологического субстрата, исходя из предположения о том, что непрерывность этого субстрата должна быть фактуальной.

Однако это оправдание конвенционалистской концепции непрерывности неубедительно. Общепризнано, что подтверждение точки зрения на непрерывность как на широкий индуктивный схематизирующий принцип физической геометрии нельзя получить непосредственно, оперируя измерительными стержнями, которые позволили бы точно установить, что количество точек на линии несчетно. И prima facie весьма правдоподобно утверждение, что постулирование, кроме счетного множества рациональных точек, также и несчетной бесконечности иррациональных точек, диктуется только стремлением к таким математическим удобствам, как допустимость извлечения квадратного корня и т. д. Однако, даже если не обращать внимания на трудности, вытекающие из апорий Зенона, которые могли бы поколебать в логическом плане доверие к геометриям, где не выполняется аксиома непрерывности, о чем мы говорили в шестой главе, рассмотренные выше соображения, по-видимому, во многом теряют свою силу, если проверить их на лакмусовую бумагу соглашения, применив ее к решению вопроса о справедливости в физической геометрии конвенционалистской концепции непрерывности. Известно, что можно доказать допустимость одной или нескольких сменяющих друг друга формулировок, которые обходятся без ссылок на соглашения и позволяют при этом дать удов-летворительно теоретическое истолкование одной и той же совокупности экспериментальных данных, как это имеет место в случае выбора той или иной системы единиц измерений.

Что же мы находим, проведя эту проверку? Оказывается, не доказано, что какая-либо альтернативная система прерывных в математическом смысле теорий столь же жизне-способна, как и системы, основанные на непрерывности, то есть не доказано, что эти два вида теорий должны быть в принципе эмпирически неотличимы один от другого1.(1 Файерабенд высказал мысль («Comments on Griinbaum's „Law and Convention in Physical Theory"» в Н. Feigl and G. Maxwell (eds.), Current Issues in the Philosophy of Science, pp. 160—161], что experimentum crucis между непрерыв-ным и прерывным описанием природы логически возможен, и дал краткое описание такого эксперимента.)

Коль скоро не доказана эмпирическая адекватность хотя бы одной реально завершенной альтернативной теории, которая являлась бы прерывной, обвинение в том, что топологический компонент непрерывности является в геометрии не менее конвенциональным, чем сама метрика, представляется необоснованным. Поскольку успешная разработка гипотезы, которая является альтернативой гипотезе непрерывности, не завершена, то возникают следующие подозрения: в наших наиболее точных и хорошо обоснованных физических теориях эмпирические факты приведены в систему с помощью аппарата классической математики, что и говорит в пользу гипотезы о непрерывности, которую в широком индуктивном смысле следует рассматривать как основополагающий (framework) принцип в отличие от ее prima facie конкурентов.

Было бы ошибкой полагать, что этот вывод требует серьезных оговорок в свете недавних идей о квантовании пространства (или времени). Ибо, как отмечает Вейль,

до сих пор она [то есть атомистическая теория пространства] всегда оставалась только спекуляцией и никогда не достигала достаточного контакта с реальностью. Как на основе этой идеи следует понимать метрические отношения в пространстве? Если квадрат построен из миниатюрных кирпичиков, тогда вдоль его диагонали будет столько же этих кирпичиков, сколько и вдоль его стороны; таким образом, длина диагонали должна была бы равняться длине его стороны.

Эйнштейн также отмечал, что:

Из квантовых явлений, по-видимому, следует, что конечная система с конечной энергией может полностью описываться конечным набором чисел (квантовых чисел). Это, кажется, нельзя совместить с теорией континуума и требует для описания реальности чисто алгебраической теории. Однако сейчас никто не знает, как найти основу для такой теории 2.( 2 А. Эйнштейн, Релятивистская теория несимметричного поля, «Собрание научных трудов», т. II, стр. 873.)

Намереваясь установить необоснованность конвенцио-налистской концепции непрерывности, мы отнюдь не утверждаем, что доказали ее ошибочность. Файерабенд считал, что отсутствие в данное время прерывной альтернативы современной физической теории «ничего не доказывает», поскольку «в конце концов полная теория непрерывности не была разработана вплоть до второй половины девятнадцатого столетия». Однако Файерабенд упустил здесь из виду, что наша аргументация устанавливает необоснованность конвенционалистской концепции непрерывности, показывая, что в лучшем случае ее защитники предлагают только программу.

Можно ли усилить нашу аргументацию ссылкой на неудачу попыток неоинтуитивистов обойтись без континуальной геометрии и анализа, предложив им повсюду в классической математике соответствующую замену? Эти усилия неоинтуитивистов обосновать классическую математику на более ограниченных основаниях потерпели неудачу в связи с введением процедуры обрезания в математической физике, сферу направления которой Френкель охарактеризовал следующим образом:

интуитивистское ограничение понятия континуума и его применения в анализе и геометрии, хотя и выполнялось совершенно различными методами в различных интуитивистских школах, всегда проводилось лишь постольку, поскольку исключало жизненно важные разделы этих двух областей. (Это же относится и к специфическому методу Брауэра, который допускал континуум per se как «среду свободного роста».)1 (1 A. A. Fraenkel and Y. В a r-H i 1 1 е 1, Foundations of Set Theory, Amsterdam: North Holland Publishing Co., 1958, p. 200. Глава четвертая этой работы дает исчерпывающий очерк того, в каких отношениях неоинтуитивистские ограничения влекут за собой искажения системы классической математики, (есть русск. перев., «Мир», 1966).)

Однако, как правильно отмечает Файерабенд, неудача неоинтуитивистов не может рассматриваться как усиление нашей аргументации.

Ибо мы не стремимся к повторению в новых терминах классической математики в целом; то, чего мы добиваемся, представляет собой новую математическую систему, которая могла оказаться адекватной для описания вселенной, представляющей собой также достаточно определенную систему, чтобы был возможен решающий эксперимент.