II. ВОПРОС О НОМИНАЛИЗМЕ И РЕАЛИЗМЕ

Философов и логиков, считающих классы, числа и сходные «математические сущности чем-то выдуманным, обычно называют «номиналистами». Номиналист не склонен утверждать, что:

(Л) «Для всех классов S, М, Я: если все 5 есть М, и все М есть

Я, то все S есть Р».

Скорее, он скажет:

(В) «Нижеследующее превратится в истинное предложение, какие бы слова или фразы соответствующего вида, мы ни подставили вместо букв S, М, Я: "Если все 5 есть Af, и все М есть Я, то все S есть Я"».

Причина, если и не убедительна, то хотя бы ясна: номиналист, по сути, не верит в существование классов; поэтому он избегает использовать формулировку (Л). В отличие от классов, «предложения» и «слова» представляются ему более «реальными», и поэтому он применяет формулировку (В).

Стало быть, отчасти разногласия по поводу «правильной» формулировки наиболее общих принципов логики — это лишь отражение философских разногласий по поводу существования или не-су- ществования таких «математических сущностей», как классы.

Однако, независимо от преимуществ той или иной позиции в вопросе «номинализм или реализм», ясно, что на деле формулировка (В) не может быть предпочтительнее формулировки (Л). Ибо что имеется в виду под «словом или фразой соответствующего вида» в формулировке (В)? Даже если мы отставим в сторону вопрос о том, что же собственно определяет «соответствующий вид» слова или фразы, мы неизбежно окажемся перед тем фактом, что в этой формулировке подразумеваются все возможные слова или фразы того или иного рода, а эти возможные слова и фразы сами не более «реальны», чем классы.

Иногда от этого вопроса уходят тем или иным способом. Один из таких способов — охарактеризовать все соответствующие «фразы», подставляемые вместо S, М и Р как «одноместные предикаты» некоторого «формализованного языка». Формализованный язык задается полным описанием грамматики вместе с указанием значений исходных выражений. Какие выражения в таком языке являются одноместными предикатами (т. е. именами классов, хотя номиналист никогда не стал бы их так называть) — устанавливается правилом формальной грамматики. По существу, если дан формализованный язык L, то класс допустимых подстановок вместо псевдобукв (dummy letters) S, М, Р в выражении:

(5) Если все S есть М, и все М есть Р, то все 5 есть Р

можно определить с высокой точностью, а, стало быть, можно чисто механическим способом (например, с помощью компьютера) установить, является ли определенная цепочка букв «результатом подстановки» (substitution-instance) в вывод (1).

Это почти разрешает сомнения номиналиста, ибо утверждая корректность вывода (5), мы в этом случае, казалось бы, вовсе не говорим о «классах», а просто утверждаем, что истинны все «результаты подстановок в вывод (5)» (в некотором определенном языке L); т. е. истинны все цепочки букв, которые удовлетворяют некоторому формальному критерию (и, стало быть, являются результатами подстановок в вывод (5) в формализованном языке L). И, конечно же, «цепочки букв» совершенно реальны — разве нет?

К сожалению, для номиналиста сразу же возникают серьезные трудности. Под логической схемой обычно понимают выражение типа (5), составленное из «псевдобукв», таких, как S, М, Я, и логических слов «если—то», «все», «некоторые», «или», «не», «тождественно», «есть» и т. п. Такие схемы используются логиками со времен Аристотеля и до наших дней для формулировки логических принципов (если Аристотель сосредоточил свое внимание на очень ограниченном классе схем, то современные логики исследуют все возможные схемы описанного типа). Схема может быть, подобно выражению (5), «корректной», т. е. она может выражать «правильный» Логический принцип (что такое правильность или корректность нам еЩе предстоит рассмотреть), или она может быть «некорректной». Например, утверждение:

И*

Если некоторые S есть Я, то все S есть Я

представляет собой пример некорректной схемы — схемы, которая не выражает правильный логический принцип. Уже античные и средневековые логики дали классификацию огромного количества схем как корректных или некорректных.

Очевидно, что определение корректности ставит серьезные философские проблемы. Но определение корректности, которое мы только что приписали номиналисту и согласно которому схема S корректна только в том случае, если истинны все результаты подстановок в нее в некотором конкретном формализованном языке L, — это определение уже с первого взгляда выглядит неудовлетворительным. Ибо, когда я говорю, что вывод (5) корректен, я считаю его корректным независимо от того, какие имена классов можно подставить вместо S, М, Р. Если бы некоторый формализованный язык L содержал имена для всех классов вещей, которые можно составить, то это было бы равносильно утверждению, что «все результаты подстановок в (5) в языке L истинны». Но согласно одной из теорем теории множеств никакой язык L не может содержать имен для всех возможных совокупностей вещей, по крайней мере, если число вещей бесконечно.

Другими словами, приняв предложение номиналиста, мы получили не единственное понятие корректности, а бесконечное множество таких понятий: корректность в Lu корректность в Ь2, корректность в L3, ..., где каждое из этих понятий означает просто «истинность всех результатов подстановок» в соответствующем языке Lr

Мы могли бы пытаться избежать этого, сказав, что схема 5 корректна только в том случае, если истинны все результаты подстановок в каждом языке L; но тогда нам нужно понятие всех возможных формализованных языков — понятие, гораздо менее «реальное», чем понятие «класс».

Во-вторых, предложенное номиналистическое определение корректности предполагает понятие «истины», а это понятие для номиналистов проблематично. Обычно мы не считаем «истинными» или «ложными» материальные объекты, например, цепочки реально написанных букв (воспринимаемых как небольшие чернильные пятна на бумаге); скорее истинным или ложным является то, что цепочки букв выражают. Но именно значение цепочки букв или то, что эта цепочка букв «выражает», и есть тот род сущностей, от которых номиналист хочет избавиться.

В-третьих, когда мы говорим обо всех подстановках в схему (5), даже применительно к одному конкретному языку L, мы имеем В виду все возможные подстановки, а не только «существующие» в номиналистическом смысле (как небольшие чернильные пятна на бумаге). Когда мы утверждаем, что схема (5) корректна, мы не просто имеем в виду, что истинны те варианты этой схемы, которые случилось записать, ибо, возможно, что имеется ложный результат подстановки в схему (5), который просто еще не был записан. Но возможные подстановки в схему (5) или возможные цепочки букв являются не более реальными физическими объектами, чем классы.

Думается, одну из проблем можно разрешить с помощью нижеследующих соображений. Нет оснований при формулировке логических принципов в большей мере избегать ссылок на «нефизические сущности», чем в научном дискурсе в целом. Ссылки на классы вещей, а не просто на вещи, — это обычная и полезная манера говорить. Если номиналист желает, чтобы мы отказались от нее, он должен снабдить нас альтернативной манерой, столь же хорошо работающей не только в чистой логике, но и в таких эмпирических науках, как физика (которая изобилует ссылками на такие «нефизические» сущности как векторы состояний, гамильтонианы, гильбертово пространство и т. д.). Если он когда-нибудь преуспеет в этом деле, это повлечет изменения в формулировке не только логических, но и всех научных принципов. Между тем, нет оснований отказываться от формулировок, подобных (Л), ввиду серьезных проблем, порождаемых такими формулировками, как (5). (И, как мы только что видели, формулировка (В), не будучи адекватной, вдобавок к тому же не является и по-настоящему номиналистической.)

Иными словами, тот факт, что формулировка (Л) «вызывает возражения» с номиналистической точки зрения, в действительности, составляет трудность не для науки логики, а для философии номинализма. Логика, как и любая другая наука, вовсе не обязана Подстраивать используемую в ней манеру говорить к философским требованиям номинализма; скорее номиналист должен обеспечить Удовлетворительную переинтерпретацию таких утверждений, как (5), Равно как и любых других высказываний логиков (физиков, биоло- г°в, и даже простых людей с улицы).

Даже если мы отбросим номинализм как требование очистить 3Десь и сейчас наш научный язык от всех ссылок на «нефизические сУЩности», мы не должны, тем не менее, отбрасывать номинализм как философию. Те, кто полагает, что на самом деле ничто не соответствует таким понятиям, как класс, число, возможная цепочка букв, а если и соответствует, то это свидетельствует о в высшей степени производной манере говорить об обычных материальных объектах, могут и дальше придерживаться своей точки зрения, а наше нежелание изменить обычный научный язык согласно их требованиям ни в коей мере не является нежеланием обсуждать философские проблемы, поднятые их позицией. К этому мы теперь и перейдем.

Можно начать с рассмотрения различных трудностей, только что обнаруженных нами в связи с формулировкой (В), и установить, какие возражения может выдвинуть номиналист в ответ на эти трудности.

Сначала одно-два общих замечания. Нелсон Гудмен, наиболее известный философ номинализма, никогда не принимал определения корректности как «истинности всех подстановок». (Это идет от Хьюго Леблана и Ричарда Мартина.) Однако, Гудмен никогда и не занимался проблемой определения логической корректности, поэтому я беру на себя смелость обсудить ту квази-номиналистическую попытку, о которой знаю. Во-вторых, Гудмен отрицает, что номинализм — это требование ограничиться «физическими» сущностями. Хотя, быть может, утверждение о том, что реальными являются только физические сущности (или только «ментальные конкретные сущности», согласно идеалистическому варианту номинализма; или только ментальные конкретные сущности и физические вещи, согласно дуалистическому варианту), и не выражает позиции Гудмена, но именно эту точку зрения большинство людей связывают с «номинализмом», и, думается, что у номиналистов нет особого повода отказываться от этой точки зрения. (Различие между требованием ограничиться «физическими сущностями» и требованием ограничиться «ментальными конкретными сущностями» или «физическими вещами и ментальными конкретными сущностями» не будет обсуждаться в настоящей статье, поскольку оно не затрагивает существенным образом философию логики.) Первый аргумент, выдвинутый нами против формулировки (?)> состоял в том, что эта формулировка, по сути, подменяет наше интуитивное понятие корректности множеством таких ПОНЯТИЙ, И ЭТО множество содержит столько понятий, сколько возможно формализованных языков. Некоторые логики пытались устранить эту труЛ' ность, используя следующий прием: пусть L0 — формализованный язык, достаточно богатый, чтобы на нем можно было формулировать утверждения о положительных целых числах и выражать понятия есть сумма у и z» и «х есть произведение у и z».

В ответ на это, можно было бы возразить, что когда я говорю «S корректна» — это непосредственно означает, что каждый результат подстановки в схему 5 (в каждом формализованном языке) является истинным. Согласно предложенному определению корректности, говоря «S корректна», я имею в виду лишь то, что все результаты подстановок в схему S в языке L0 являются истинными; поэтому то, что результаты подстановок в схему 5 в любом языке истинны, — это просто математический факт, а не часть подразумеваемого мной смысла. Таким образом, предложенное определение корректности совершенно не отражает содержания интуитивного понятия, даже если и совпадает с этим интуитивным понятием по объему.

Однако это возражение необязательно разрушительно, поскольку логик-номиналист может в ответ сказать, что он вовсе не стремится отразить «интуитивное» понятие; достаточно, если он обеспечит нас философски приемлемым (с его точки зрения) понятием, ибо это соответствует поставленной им задаче.

Пусть это так, но факт остается фактом: сам язык L0 требует СсЫлок на «математические сущности» (в частности, числа), и для Доказательства утверждения, что «если S корректна—в—L0, то S к°рректна—в—Lj» необходимы ссылки на произвольно взятые вы- РаЖения Lj (т. е. на все возможные выражения Lj). Таким образом, Ни язык L0) ни только что упомянутая метаматематическая теорема в действительности не годятся строгому номиналисту, т. е. тому, кто избегает любых разговоров о «математических сущностях».

Второй сформулированный нами аргумент состоял в том, что и понятие «истина» не подходит для номиналиста. Однако, это утверждение весьма спорно.

Если говорить в двух словах, то мы утверждали, что выражение «истинно» не имеет смысла в применении к физическому объекту, даже если этот физический объект — написанное предложение; истинным или ложным является не само написанное предложение, а то, что оно говорит. И те вещи, которые выражают предложения, в отличие от самих предложений (записей), не являются физическими объектами.

Для номиналиста в данном случае будет естественным, я полагаю, провести различие между (6)

S истинно

и (7)

5, как его понимает Оскар во время t, истинно

Если 5 представляет собой физический объект (например, написанное предложение), то предложение (6) действительно имеет немного смысла, если только оно не служит кратким выражением некоторого факта, подобного (7). Но предложение (7) выражает весьма вероятное отношение, которое может иметь место или не иметь места между данным написанным предложением, человеческим организмом и временем. (Я не буду рассматривать, как номиналисту следует трактовать ссылки на «время»; возможно, он должен отождествить «время» с соответствующим трехмерным поперечным сечением в четырехмерном пространственно-временном универсуме.) Разве у номиналиста нет возможности утверждать, что некоторые предложения истинны в том смысле, что сами находятся в отношении, представленном в (7), к соответствующим организмам в соответствующее время? Тогда, учитывая сложный характер этого отношения, бремя доказательства ляжет на реалиста, который должен будет показать, что это отношение по сути предполагает существование нефизических сущностей таких, как высказывания, значения и т. п.

В другой формулировке этот второй аргумент принимает вИД «апелляции (appeal) к обыденному языку». Так, утверждается, что (8)

Джон сделал истинное утверждение

это совершенно правильный случай употребления «обыденного

языка» в определенных легко представимых ситуациях. Стало быть, имеются две возможности: (а) из (8) следует, что утверждения существуют (как йефизические сущности); и (б) из (8) этого не следует. В случае (б) нет проблем; мы можем и дальше рассуждать об «утверждениях» (а, коли на то пошло, и о «классах», «числах» и т. п.), поскольку, как все согласны, подобные рассуждения не предполагают существования утверждений (чисел и классов) как нефизических сущностей. Тогда номинализм бесполезен, поскольку те лингвистические формы, от которых он стремится избавиться, безвредны с философской точки зрения. Что касается случая (а), то поскольку (8) истинно и предполагает существование нефизических сущностей, отсюда следует, что эти нефизические сущности существуют! Поэтому номинализм ложен! Таким образом, номинализм или бесполезен, или ложен.

В ответ номиналист может возразить, что он стремится найти лишь «функцию-перевод», позволяющую заменить такие предложения как (8) предложениями, которые даже по виду не предполагают существования нефизических сущностей. В результате, полагает он, мы будем обеспечены терминологией, менее запутанной в концептуальном отношении и более соответствующей природе вещей, чем та, которой мы обычно пользуемся. Безусловно, такие предложения, как (8), «философски безвредны» при их правильном истолковании; но проблема состоит в том, чтобы прояснить это правильное истолкование.

Для пущей убедительности номиналист может добавить, что, с его точки зрения, функция-перевод необязательно должна сохранять синонимию. Достаточно, если истолкование предложений, подобных (8) в соответствии с моделью номиналистического перевода будет обеспечивать большую ясность.

Таким образом, тот факт, что в «обыденном языке» слова «истинное» и «ложное» обычно применяются к «утверждениям», не Убеждает номиналиста ни в том, что утверждения действительно существуют как нефизические сущности, ни в том, что отход от обыденного языка (и использование таких предложений, как (7)), есть интеллектуальное прегрешение.

Наконец, есть «аргумент», согласно которому предложение (7) °значает следующее: имеется утверждение, которое схема 5 «вы- Ражает» для Оскара во время t, и это утверждение истинно. Это означает, что предложение (7) содержит скрытую ссылку на нефизи- ческую сущность (на то, что S «выражает») и, следовательно, не является «на самом деле» номиналистическим.

Этот аргумент сводится либо к только что рассмотренному аргументу с апелляцией к обыденному языку, либо к простому требованию считать, что на самом деле только утверждения (понимаемые-как нефизические сущности, выражаемые предложениями) могут быть «истинными» или «ложными». Поскольку именно это требование и составляет предмет нашего обсуждения, этот аргумент ничего не доказывает.

Итак, все аргументы, доказывающие непригодность понятия истины для номиналиста, выглядят несостоятельными. С другой стороны, отсюда вовсе не следует, что номиналист имеет право использовать это понятие. Истина (или триадическое отношение между написанными предложениями, человеческими организмами и временем, представленное в (7)) едва ли такая же примитивная вещь, как понятие «желтый», поэтому номиналист должен дать некоторое разъяснение понятия истины, которое было бы непротиворечивым образом сформулировано в категориях его метафизики. Если он не сможет дать нам такого разъяснения (а что он тогда имеет?), его право на использование данного понятия становится сомнительным. Прежде чем читатель (или номиналист) успеет воскликнуть: «Ти quoque!» («И ты тоже!»), напомним ему следующие факты: «интуитивное» понятие истины представляется противоречивым (см. в связи с этим хорошо известные логические антиномии); но если задан какой-нибудь формализованный язык L, то имеется и предикат «истинно—в—L'», который можно использовать во всех научных целях вместо интуитивного понятия истины (если рассматриваемые утверждения сформулированы в языке L), и этому предикату можно дать точное определение, используя лишь выражения языка L и теорию множеств 51. Это не совсем удовлетворительное решение, поскольку предпочтительнее было бы иметь единственный предикат «истинно», а не бесконечное множество предикатов «истинно—в— L{», «истинно—в—Ь2» и т. д., однако оно вполне сносно, а антиномии дают серьезные основания сомневаться в том, что вообще возможно непротиворечивое понятие истины, применимое ко всем языкам и удовлетворяющее интуитивным требованиям. Таким образом, реалист может не разъяснять интуитивное понятие истины, а выработать целый ряд альтернативных понятий и использовать их во всех научных контекстах, где требуется предикат «истинно», давая ИМ строгое определение. Но номиналист — по крайней мере, сегодня ^ не может сделать даже этого.

Согласно нашему третьему аргументу, ссылаясь на все предложения формализованного языка (или даже на все результаты подстановок в некоторую фиксированную схему), мы ссылаемся не на «записи» (поскольку едва ли можно предположить, что все бесконечное множество предложений некоторого формализованного языка где-то реально записано), а на абстрактные сущности, «возможные записи», или, как говорят некоторые авторы, на «типы» или формальные свойства (shape-properties), представленные этими записями. (Предполагается, что эти типы «существуют» независимо от того, представлены они реально существующими записями или нет; иными словами, они также являются нефизическими сущностями.) Когда мы говорим «все результаты подстановок в схему (5) истинны», мы имеем в виду даже те результаты подстановок, которые еще никто реально не записал. Таким образом, эти «результаты подстановок», особенно «потенциальные», являются не в большей мере «физическими», чем классы. Насколько мне известно, на этот аргумент нет ответа, достойного рассмотрения.

Итак, \ наше рассмотрение трех указанных аргументов не изменило нашего вывода о том, что формулировка (В) не является номиналистической. Однако, мы увидели, что чем больше мы углубляемся в первые два аргумента, тем сложнее (и техничнее) они становятся.

Мы можем подытожить этот раздел, сказав, что на сегодняшний день ссылки на «классы» или на нечто столь же «нефизическое» неустранимы из науки логики. Понятие логической «корректности», на котором основывается вся наука, нельзя, по крайней мере сегодня, Удовлетворительным образом объяснить в чисто номиналистических терминах.