В. Квазиэмпирический реализм

Мэдди полагает, что математики имеют чувственный контакт с множествами в математическом смысле, а не просто с совокупностями материальных вещей. Стандартная точка зрения состоит в том, что множества являются абстрактными объектами, что и позволяет математикам рассматривать такие объекты, как пустое множество, в качестве базиса для построения всей иерархии множеств. Таким образом, речь идет о возможности причинного указания на абстрактные объекты, что напоминает с первого взгляда крайний платонизм К. Геделя.

Однако позиция Мэдди более эмпирична. При указании на объект подразумевается стандартная семантика, а именно, что указание осуществляется сингулярным термином, или же собственным именем, в то время как предикаты, или общие термины, не указывают объектов, а истины о них, обозначая род объектов. Мэдди полагает, что имея некоторый эмпирический опыт в отношении материальных совокупностей, мы образуем общий термин, родовое понятие, которое указывает на множество как абстрактный объект. Тогда возникает важнейший вопрос о пространственно-временной локализации указываемого общим термином объекта.

Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подобны физическим сущностям, и поэтому возможен прямой перцепту- альный доступ к ним. Мэдди отличает совокупность физических вещей, скажем, груду камней, от множества тех же самых камней. Отличие состоит в том, как соотносится камень с грудой камней, и как он соотносится с множеством камней. Каждый камень сделан из физического материала, который и образует части физической совокупности. Но никакой камень не является членом физической совокупности, потому что физическая совокупность не имеет членов. Здесь Мэдди апеллирует к идее, что множество (и членство в нем) есть результат деятельности сознания, образования в уме концепции множества. Камень является членом множества, и именно отношение членства делает его таковым. И в этом смысле множество абстрактный объект, а физическая совокупность — нет. Но из такой трактовки следует чрезвычайно важный вывод квазиэмпирического толка: множество камней локализовано точно в том месте, в котором локализована физическая совокупность. Это в высшей степени непривычная трактовка понятия абстрактного объекта. Физические совокупности не имеют членов, в то время как множество определяется отношением членства. Именно по этой причине множество является абстрактным объектом, который, тем не менее, предполагается локализованным в том же месте пространства, в котором локализована физическая совокупность. Следует еще раз подчеркнуть, что подобная трактовка множеств возможна за счет эпистемологических трактовок восприятия, развитых в самое последнее время.

Ч. Чихара резко критикует точку зрения Мэдди, согласно которой мы можем буквально «видеть» множества34. Первым контрпримером служит случай единичного множества. Пусть в помещении имеется один физический предмет, скажем, камень. С точки зрения здравого смысла, в этом помещении ничего больше нет, однако с точки зрения Мэдди существует еще множество, единственным членом которого является камень. Множество есть абстрактный объект, а камень — физический объект, и согласно Мэдди оба расположены в одном и том же месте. Традиционно множество рассматривается как универсалия, лишенная локализации во времени и пространстве. Универсалия с локализацией в пространстве представляет значительные трудности для философии.

Поскольку порождение множеств осуществляется замыканием единичного множества (далее в книге об этом будет сказано более пространно), вместо одного камня и одного множества мы имеем один камень и бесконечное число множеств. Однако в пользу такого взгляда нет эмпирических свидетельств. Больше того, такой взгляд противоречит интуиции, и имеет просто неправдоподобные следствия. Еще более трудным становится понимание позиции Мэдди в случае бесконечных множеств, которые невозможно сопоставить с конечными физическими совокупностями. Перед Мэдди встает в высшей степени традиционная проблема понимания природы математической абстракции. Квазиэмпирический подход Мэдди ставит целью сделать более приемлемым с философской точки платонизм, который является «рабочей философией математика».