Б. Номинализм

Такая позиция возможна лишь при некоторой сильной версии номинализма. Техническим средством выражения такого номинализма является так называемая теорема консервативности, суть которой в том, что любое номиналистическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики. Таким образом, в математической практике делается указание на математические сущности, но нет необходимости верить в существование таких вещей, поскольку указание подобного рода не требует признания математических утверждений истинными. Филд полагает математические теоремы просто ложными, а математические объекты — полезными фикциями, которые в теоретическом смысле вполне устранимы.

Теория Филда не только радикальна, но и в значительной степени парадоксальна, так как соединяет в себе логицизм и номинализм. Логицизм виден в самой «теореме консервативности», согласно которой математический вывод можно в принципе заменить более длинным логическим выводом. Под номиналистической теорией Филд понимает теорию, в которой кванторные переменные ограничены нематематическими сущностями. Другими словами, нелогический словарь номиналистической теории не пересекается со словарем математической теории и, значит, абстрактные объекты математики избегаются. Более точно, пусть N— номиналистическая теория первого порядка, a ZF—теория множеств Цермело — Френкеля. Тоща может быть показано, что если N+ ZF JXSLST S, тогда N дает S.

Тезис Филда состоит в том, что математика является консервативным расширением номиналистических истин. Но значит ли это, что математика лишь «добавка», позволяющая сократить длинные логические выкладки, которые в принципе могли бы быть получены и без математики? Другими словами, верно ли, как Филд полагает, что использование математики есть уступка физиологической и психологической ограниченности человека?

Это определенно неверно, потому что консервативные расширения несут все-таки новую информацию. Сами методы расширения, хотя бы и консервативного, таковы, что позволяют делать обобщения, которые не могут быть сделаны в расширяемой области. Действительно, консервативность подобного рода характерна для различных областей математики.

Номиналистическая программа в первую очередь является программой онтологической. Номиналисты не признают абстрактных объектов, полагая, что реальным существованием обладают лишь физические объекты, или более точно, единичные конкретности (в противоположность универсалиям). Вклад в упрощение, который вносится консервативным расширением, может быть оспорен Фил- дом на том основании, что, скажем, упрощение теории распределения простых чисел дается ценой увеличения в онтологии. Комплексные числа несчетны, а целые — счетны. Номиналист признает счетные совокупности (скорее, даже конечные), и никак не признает несчетные. Но онтологические соображения вряд ли играют какую- либо роль в математике, где «более простые доказательства» являются подлинным вкладом в теорию. Кроме того, для того чтобы отказаться от приобретений, полученных в ходе консервативного рас- ширения, требуются какие-то дополнительные мотивы, кроме установления самого факта консервативности расширения.

Филд понимает это обстоятельство, и считает, что апелляция к исходному ядру, которое подвергается консервативному расширению, будет успешной, если номиналистическая переформулировка будет «разумно привлекательной». Дж. Таппенден отмечает в этой связи, что «любая теория может быть заменена эквивалентной "номиналистической" подтеорией: для этого надо просто убрать (с помощью грубой силы или с помощью теоремы Крэйга) все предложения, кроме тех, которые удовлетворяют подходящим образом выбранному словарю. Но результирующая теория будет столь дезорганизована, что от нее не будет никакой практической пользы. Не может быть выведено никакого философского следствия из наблюдения, что хорошая теория в принципе может быть заменена практически бесполезной теорией, как бы эта последняя теория ни была привлекательной философски»33. Таким образом, номиналистическая программа Филда оказывается не столь привлекательной.