Кризис математики в начале XX века

Этой точки зрения (о законности существования абсолютной бесконечности. — В. С.), которую я считаю единственно правильной, придерживаются лишь немногие. Быть может, я по времени первый, защищающий ее с полной определенностью со всеми следствиями, но одно я знаю твердо: я не буду ее последним защитником.

Г.

О различных точках зрения на актуально бесконечное Событием, которое, по общему признанию, потрясло весь математический мир и стало причиной появления альтернативных программ обоснования математики, стал кризис математики, разразившийся в начале XX в. Состояние, предшествовавшее кризису, не предвещало никаких катаклизмов. «...После многовековых блужданий в тумане математикам как будто бы удалось к началу XX в. придать своей науке ту идеальную структуру, которая была декларирована Аристотелем и, казалось, была осуществлена Евклидом в его „Началах". Математики наконец-то полностью осознали необходимость неопределяемых понятий; определения были очищены от неясных или вызывавших какие- либо возражения терминов; некоторые области математики были построены на строгой аксиоматической основе; на смену умозаключениям, опиравшимся на интуитивные соображения или эмпирические данные, пришли надежные, строгие дедуктивные доказательства. Даже законы логики были расширены настолько, что охватывали теперь те типы рассуждений, которые ранее математики использовали неформально и порой неявно, хотя, как показывал опыт, эти рассуждения всегда приводили к правильным результатам»19.

Созданная Г. Кантором (1845-1918) теория трансфинитных (бесконечных) множеств взорвала сложившееся спокойствие. Ее главная особенность состояла в том, что она была теорией актуально бесконечных множеств и, в частности, позволяла количественно оценивать и оперировать такими множествами.

Кантор различал потенциальную и актуальную бесконечность в следующем смысле. Потенциальная бесконечность представляет конечную величину, которая способна принимать значение, большее любого заранее установленного предела. Она всегда остается конечной, хотя и переменной величиной. По этой причине потенциальная бесконечность есть величина, в действительности не про- тивостоящая конечному и не являющаяся истинной бесконечностью. Подлинная бесконечность — это актуальная (завершенная, замкнутая в себе) бесконечность, ибо только она в действительности противоположна конечному, «Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, — причем первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя — некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, — к сожалению, слишком "часто встречаются случаи смешения этих понятий. Так, например, нередко встречающийся взгляд на дифференциалы как на определенные бесконечно малые величины (тогда как они представляют собой лишь переменные произвольно малые вспомогательные величины, совершенно исчезающие из конечных результатов, а потому характеризовавшиеся уже Лейбницем как простые фикции...) основывается на таком смешении»20. Математическим аналогом актуальной бесконечности служит теория трансфинитных кардинальных числел (трансфинитных множеств).

В конспективном изложении суть теории множеств Кантора можно свести к следующим допущениям, определениям, результатам и проблемам (определение ординальных бесконечных множеств и связанная с этим проблема невозможности их полного упорядочения не рассматривается, так как это не связано с дальнейшим ходом изложения). •

«Под 'множеством1 мы понимаем соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов т нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться 'элементами' множества М)»21. Данное определение распространяется на конечные и бесконечные множества. •

Всякому множеству соответствует определенная 'мощность', или 'кардинальное число'. «'Мощностью', или 'кардинальным числом' множества М, мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов т и от порядка их задания»22. •

Два множества М и N равномощны (их элементы находятся во взаимно однозначном соответствии), если каждый элемент М является элементом N, и наоборот. •

Множество М — подмножество множества N, только если каждый элемент М есть элемент N. •

Если множество М равно множеству N, тогда оно — подмножество N. •

Если множество М есть подмножество множества N и существует по крайней мере один элемент N, который не является элементом М, тогда М называется собственным (истинным) подмножеством N. •

Множество М больше, чем множество N, если и только если N эквивалентно некоторому подмножеству М, но М не эквивалентно ни одному подмножеству N. •

Множества могут содержать один и более элементов или ни одного элемента. •

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Все пустые множества равномощны и являются подмножествами любого множества. •

Множество бесконечно, если оно эквивалентно своему собственному подмножеству. В противном случае оно конечно, •

Множество называется счетным (перечислимым), если существует взаимно однозначное соответствие между его элементами и множеством целых положительных чисел. В частности, множество положительных рациональных чисел перечислимо, но множество действительных чисел — нет, т. е. оно несчетно. •

Теорема Кантора: кардинальное число множества всех подмножеств любого множества больше кардинального числа самого множества. Доказательство следует из того факта, что если множество содержит и элементов, число его подмножеств равно 2", а 2"> п. Например: ?

Пустое множество содержит одно подмножество, именно само себя (2° = 1). ?

Множество с одним элементом содержит два подмножества — пустое множество и само себя (21 = 2). ?

Множество с двумя элементами содержит четыре подмножества — пустое множество, само себя и два подмножества по одному элементу (22 = 4).

» Наименьшим кардинальным числом в ряду бесконечных множеств является кардинальное число множества натуральных чисел. Для его обозначения Кантор использовал знак Ко (читается — алеф нуль). Пусть D — множество всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел. Тогда доказывается: D = 2*°. •

Иерархия бесконечных множеств порождается следующим образом: 1.

«о (наименьшее трансфинитное число = кардинальное число множества натуральных чисел). 2.

«і = 2*° (кардинальное число множества действительных чисел). 3.

К2 = 2\ 4.

К3 = 2\ • Проблема (гипотеза) континуума: существует ли в указанной иерархии бесконечных множеств трансфинитное кардинальное число, большее «о, но меньшее «і? Кантор предположил, что не существует ни одного кардинала (трансфинитного кардинального числа), который удовлетворял бы указанному условию, и пытался это доказать. Однако не смог этого сделать. В списке важнейших двадцати трех математических проблем XX в., оглашенных Гильбертом на II Международном математическом конгрессе 1900 г., проблема континуума была названа первой23. Лишь в 1940 г. Гёдель установил, что проблема континуума не противоречит аксиомам стандартной теории множеств29 и в 1963 г. П. Коэн, обобщая все полученные до него результаты, доказал, что проблема континуума независима от аксиом теории множеств и поэтому не может быть ни доказана, ни опровергнута24. Из этого результата Коэна следует нетривиальный результат. Так как континуум-гипотеза независима от стандартной теории множеств, то последняя может развиваться как без добавления этой гипотезы, так и вместе с ней. Вместо одной теории множеств появилось две альтернативных. Несмотря на отчаянное сопротивление одного из бывших учителей Кантора (Леопольда Кронекера), теория трансфинитных множеств постепенно завоевывала умы математиков25. К нача- лу XX в. каиторовская теория множеств «нашла широкое применение во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел (конечных, или 'финитных', и трансфинитных) для анализа понятий линии или размерности и даже для оснований математики»26. Рассел назвал Кантора величайшим мыслителем XIX в. Гильберт утверждал о теории множеств Кантора: «Мне представляется, что это -самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления»27.

Проблемы начались, когда Кантор попытался определить множество всех трансфинитных множеств. Согласно теореме Кантора, существует бесконечное число трансфинитных кардинальных множеств. Согласно этой же теореме, если такое «сверхмножество» существует, то должно существовать и множество всех его подмножеств, которое должно быть больше «сверхмножества». «Следовательно, заключил Кантор, должно существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. Придя к столь нелепому выводу, Кантор сначала растерялся; однако затем он решил, что все множества можно разбить на противоречивые и непротиворечивые, и в 1899 г. сообщил об этом Дедекинду. Таким образом, множество всех множеств и соответствующее ему трансфинитное число попадали в разряд 'противоречивых' — и тем самым исключались из рассмотрения»28.

Рассел, узнав о парадоксе «сверхмножества», сначала усомнился в правильности рассуждений Кантора. ГІО его мнению, Кантор, должно быть, «совершил очень тонкую логическую ошибку, которую я (Рассел. — В. С.) надеюсь объяснить в одной из следующих работ»33. Результатом размышлений Рассела стала формулировка нового парадокса, названого в его честь парадоксом Рассела.

Рассел обратил внимание на то, что возможны два вида классов: содержащие себя в качестве собственного элемента и не со- держащие себя в качестве собственного элемента. К первым относятся, например, понятия «список», «каталог», «классификация», «абстракция» и т.

Логически парадокс обнаруживается в том, что неизвестно, куда поместить стандартное множество. В классе, который является собственным элементом, ему не место, поскольку он не входит в свой класс. Но его нельзя включить и в класс, который собственным элементом не является, поскольку он представляет стандартный класс и не должен находиться среди собственных элементов. Формально это выглядит так. Пусть R = «семейство тех и только тех классов X, которые не являются своими элементами и потому удовлетворяют условию X (г X». Таким образом, имеет место эквивалентность X є. R s X g X. Подставив вместо переменной X символ R, получим Re R = R ? R, т. е. противоречие.

Парадокс Рассела — самый известный из относящихся к основаниям математики, но не единственный. Поскольку все они обладают одной и той же логической структурой, именно структурой парадокса «Лжец», они здесь не рассматриваются36. Этот парадокс возникает как следствие незаконной, имеющей характер порочного круга, по мнению Рассела, самореференции определенных понятий. Пуанкаре назвал понятия, не способные к непротиворечивой самореференции, непредикативными. Обнародование парадокса Рассела и ему подобных противоречий побудили математиков к поиску непредикативных понятий не только в теории множеств, но и в других разделах математики. Вскоре одно из таких понятий было обнаружено в основаниях классической математики — понятие «наименьшей верхней границы». Оказалось, что оно включает среди прочих значений и то, которое призвано обозначить, т. е. наименьшую верхнюю границу. Поскольку никто не мог гарантиро- вагь, что если до сих пор то или иное непредикативное понятие не приводило к противоречиям, то их не будет и в будущем, у некоторых математиков возникло ощущение, что математика стоит не просто на шатком, а логически противоречивом основании.

Если парадокс Рассела и ему подобные парадоксы стимулировали математиков к поиску и исключению непредикативных понятий из всех разделов математики и тем самым — к обоснованию ее непротиворечивости в. целом, то аксиома выбора, явная формулировка которой принадлежит Э. Цермело (1871-1953), породила среди них другую волну проблем и тревог Аксиома выбора имеет много вариантов. Один из самых понятных такой. Пусть дано множество М, подмножества которого — непустые множества. Тогда всевда можно выбрать по одному элементу из каждого подмножества и образовать из них новое подмножество. Так, из каждой квартиры многоквартирного дома, в которой проживает хотя бы один человек, согласно аксиоме выбора, можно отобрать по одному представителю для общего собрания жильцов данного дома. Аксиома выбора неявно использовалась Кантором для доказательства теоремы о том, что любое бесконечное множество содержит подмножество с кардинальным числом к0. Аналогично поступали многие другие математики при решении своих частных проблем. В 1923 г. Гильберт назвал аксиому выбора принципом, без которого невозможна теория математического вывода. Вместе с тем именно эта аксиома в начале XX в. стала объектом жесточайшей критики со стороны ведущих математиков Европы (Ф. Бернштейна, Э. Бореля, Р. Бэра, А. Лебега). «Суть критики сводилась к тому, что если не указано правило, по которому из каждого множества выбирается по элементу, то реально выбор не производится и поэтому в действительности новое множество не образуется. В ходе доказательства выбор может измениться, поэтому доказательство утрачивает силу. По выражению Бореля, выбор без правил представляет собой акт веры; поэтому аксиома выбора лежит за пределами математики»37. Пример Рассела поясняет смысл проблемы. Допустим, имеется сто пар ботинок. Если из каждой пары требуется выбрать левый ботинок и образовать множество из ста левых ботинков, то процесс выбора не составит труда, так как известно правило, кото- рому оно подчиняется, — «из каждой пары выбирай левый ботинок». Если же обувь заменить, скажем, носками, то из-за невозможности отличить левый носок от правого сразу же возникнет вопрос, погубивший в свое время буридановского осла, об основаниях выбора носка как левого. Иными словами, аксиома выбора критиковалась за принципиально неконструктивный характер. Она указывала на возможность построения нового множества, но ничего не говорила, как именно это можно сделать.

В целом в начале XX в. сложилась следующая ситуация. Теория множеств Кантора, хотя и не без споров и возражений, была признана основанием всей математики. Каждый математический объект мог быть сформулирован в терминах теории множеств, т. е. представлен как теоретико-множественный объект. Вместе с тем парадоксы транс финитных множеств Кантора, Рассела и родственные им, неконструктивный характер аксиомы выбора и так называемых доказательств существования, бесконтрольное использование математиками непредикативных понятий и связанная с этим потенциальная угроза возникновения новых противоречий, наконец, отсутствие достаточных логических средств для точного выражения и анализа математических рассуждений — все это создавало впечатление если не фундаментальной ошибочности, то, по крайней мере, ненадежности теоретико-множественного обоснования математики. Стали говорить о (третьем) кризисе математики.

Но был ли на самом деле кризис математики? Ни одна из существующих в то время математических теорий не была признана формально противоречивой. Ни одна из фундаментальных теорем арифметики, геометрии, алгебры, анализа и топологии не была признана ошибочной, и не было никакого повода сомневаться в достоверности самих этих наук. Все споры свелись исключительно к тому, как интерпретировать необычные теоретико-множественные объекты канторовской теории, основанные на допущении актуальной бесконечности, в привычных методологических схемах и абстракциях. Следовательно, в начале XX в. возник кризис не математики, а ее методологии: обнаружилось очередное резкое несоответствие объяснительных средству которыми располагали математики в рассматриваемое время у тем новым теоретико-множественным объектам, которые они же сами и создавали. В частности, абстракция актуальной бесконечности, которой так свободно поль- зовался Кантор, противоречила принятым в то время представлениям об ограниченных познавательных способностях человека и конечном характере доступного ему опыта.

Как всегда, было предложено множество выходов из кризисной ситуации, начиная от призывов Кронекера полностью запретить теорию трансфинитных множеств Кантора, попыток ее существенной ревизии, предпринятых интуиционистами и конструктивистами, и до надежд построить логически безупречное основание этой теории логицистами и формалистами.

Как будет показано, ни одна из предложенных программ спасения теории множеств Кантора не достигла своей цели. Одной из причин такой неудачи можно считать разделяемое всеми специалистами, работающими в области обоснования математики, общее заблуждение, что математика должна иметь единое и достоверное основание — источник, из которого она могла бы гарантированно извлекать свои истины. Математика не только не имеет такого основания, но она также не имеет раз и навсегда заданного универсума своих объектов и операций над ними. Создание неевклидовых геометрий ясно показало, что математика имеет дело с множеством возможных моделей, ни одна из которых не является для нее более фундаментальной, чем другая. Математика, как никакая другая наука, — в очень высокой степени замкнутая и независимая от непосредственного влияния практических потребностей, саморазвивающаяся и самодетерминирующаяся область знания, внешние (психологические, культурные, социальны^) причины для которой являются важными, но не определяющими.'

Другой причиной неудач работ в области обоснования математики можно назвать отсутствие ясного понимания, что такое математическая бесконечность. Основной результат, к которому обычно приходят в процессе обсуждения этой проблемы, — это недопустимость актуальной бесконечности из-за ее принципиальной ненаблюдаемости и непроверяемости в нашем конечном опыте. Но не является ли такое исключение сознательной или бессознательной уступкой старой изжитой позитивистской догме о реальности исключительно конечных объектов и иллюзорности бесконечного? Ведь совершенно очевидно, что потенциальная бесконечность противопоставляется актуальной 8 качестве истинной только потому, что она, как объяснял еще Кантор, и не покидает пределы конечно- го, т. е., по сути, и не является бесконечностью. Таким образом, реальная проблема, лежащая в основе споров о законности актуальной бесконечности, заключается в том, что до сих пор отсутствует общепринятое и удовлетворительное объяснение связи конечного и бесконечного.

Третьей причиной методологического кризиса математики в начале XX в. стало обнаружившееся несоответствие используемых большинством математиков логических средств — аристотелевой логики — задачам конструирования новых математических объектов и теорий. Анализ трансфинитных множеств потребовал уточнения не только закона исключенного третьего, но и границ применимости всей классической логики. Усилиями Фреге, Рассела и Уайтхеда была создана символическая логика — один из самых значительных результатов математической мысли этого времени.

Таким образом, рассматриваемый кризис не поколебал построенное здание математики. Наоборот, он способствовал более быстрой разработке необходимых концептуальных средств для ассимиляции новых открытий и более быстрому прогрессу математики как науки.