Анализ отношения арифметики к логике

Концепция классов Фреге отличается от их современного толкования тем, что классы определяются им как объемы понятий. Фреге специально подчеркивает, что он использует понятие класса так, как это принято в логике, а не в математике45. Непривычная для математиков подобная интерпретация классов понадобилась Фреге для введения логических объектов, необходимых для обоснования арифметики. «Числа — объекты, а в логике исходными объектами являются только два — истина и ложь. Нашей первой целью стало поэтому получение объектов из понятий, т. е. определение объемов понятий или классов... Трудности, которые возникают при использовании классов, исчезают, если мы имеем дело только с объектами, понятиями и отношениями, а это — возможность фундаментальной части логики. Класс — нечто производное, тогда как в понятии, как я его понимаю, мы имеем нечто исходное»46.

Понятия — независимые от ума и языка сущности. Следовательно, объекты, связанные с ними, также будут независимыми, что и требуется для обоснования независимости чисел. Возникает проблема безупречного введения логических объектов.

Фреге считает, что вводить логические объекты можно, если сформулированы условия равенства (взаимно однозначного соответствия) для них. Для классов это отношение определяется обычным способом посредством соотнесения элементов каждого из них с каждым элементом других. Для понятий оно формулируется как требование тождества: (x)(Fx = Gx). В качестве аксиомы, объединяющей условия взаимно однозначного отношения между классами и равенства (тождества) понятий, Фреге формулирует следующий принцип47: (V)

(xFx = у Gy) = (х)(Яг = Gx). Аксиома V читается так: классы, представляющие объемы понятий F и G, равны друг другу (взаимно однозначно соотносятся друг с другом) тогда и только тогда, когда эти понятия тождественны.

Принадлежность элементов классу также редуцируется к анализу связанного с ним понятия посредством принципа (M)

а є xFx = (EG)[(x)(Gx = Fx) & Gal Отношение принадлежности объекта классу читается так: объект а является элементом класса xFx тогда и только тогда, когда существует по меньшей мере одно свойство G такое, что а выполняет это свойство, т. е. истинно Ga, и каждый элемент класса xFx выполняет свойство F тогда и только тогда, когда он выполняет свойство G.

Ббльшая часть вопросов о классах с помощью принципов (V) и (М) сводится к вопросу о понятиях. В системе Фреге принцип (М) представляет дефинициальное следствие принципа (V). Следовательно, одной лишь аксиомы (V) достаточно для сведения теории классов к логике понятий и тем самым просто к логике.

Аксиома (V) — тождество. Следовательно, она может быть представлена в виде конъюнкции следующих двух импликаций:

(Va) (Vb)

(z)(Fz = Gz) z) xFx = уGy; xFx = у Gy о (z)(Fz ~ Gz).

Первая из них не вызывает сомнений, так как определяет условие равенства объемов понятий. Вторая сомнительна, так как утверждает, что между множествами и объектами существует отношение однозначного соответствия — равенство классов однозначно обуславливает, что все принадлежащие им объекты, выполняющие понятие F, выполняют и понятие G. Но согласно одной из теорем теории множеств число, классов, которое можно образовать из непустого множества объектов, всегда больше, чем самих объектов (для п объектов определимо 2" классов). Сомнительность импликации (Vb) делает сомнительным и использование аксиомы (V) в целом и основанную на ней редукцию классов в логические объекты.

Более существенное возражение против редукции классов к логике понятий представляет парадокс Рассела, касающийся также и аксиомы (V). Рассел, в частности, сообщает в своем знаменитом письме к Фреге: «Уже полтора года, как я познакомился с Вашими „Основными законами арифметики", но только теперь мне удалось найти время для того, чтобы осуществить свое намерение и тщательно изучить Ваши работы. Я обнаружил, что полностью согласен с Вами во всех главных вопросах, в частности, в том, что Вы полностью отвергаете в логике любые психологические моменты, а также в Вашей высокой оценке записи в понятиях для оснований математики и формальной логики, которые, впрочем, вряд ли можно разделить. Во многих отдельных вопросах я нахожу у Вас анализ, различения и дефиниции, которые тщетно было бы искать у других логиков. В частности, в том, что касается функции (параграф 9 Вашего „Исчисления понятий")* я самостоятельно пришел к взглядам, совпадающим с Вашими даже в деталях. Только в одном пункте я встретился с трудностью. Вы утверждаете (с. 17), что функция может быть неопределенным (относящимся к произвольным объектам. — В. С) элементом. Я тоже раньше так думал, но сейчас этот взгляд вызывает у меня сомнение из-за следующего противоречия.

Письмо Рассела произвело на Фреге гнетущее впечатление. В ответном письме Расселу Фреге сообщает: «Ваше открытие противоречия ввергло меня в сильнейший шок, близкий к полному смятению, потому что оно пошатнуло базис, на котором я намеревался построить арифметику... Я должен поразмышлять над этой темой дальше. Все оказалось гораздо серьезнее, поскольку с потерей аксиомы V не только основания моей арифметики, но и единственно возможные основания арифметики, по всей видимости, рушатся... В любом случае Ваше открытие чрезвычайно ценно и, возможно, приведет к значительному прогрессу в логике, каким бы нежелательным оно ни казалось на первый взгляд»49.

В Послесловии ко второму тому «Основных законов арифметики», написанном в связи с обнаруженным противоречием, Фреге констатирует: «Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ воздвигнутого им здания оказалась пошатнувшейся. — В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этого тома близилось к концу»68.

Причиной возникшего противоречия Фреге назвал допущение, согласно которому каждое понятие имеет объем, выделяемый посредством «принципа абстракции». «Еще и теперь, — говорит Фреге в „Послесловии", — я не вижу, как можно научно обосновать арифметику, трактовать числа как логические предметы и вводить их таким образом в рассмотрение, если невозможно — при определенных условиях хотя бы — переходить от понятия к его объему. Могу ли я всегда говорить об объеме понятия, о классе? А если не могу, то как можно отличить эти исключительные случаи? Можно ли из того, что объем какого-нибудь понятия совпадает с объемом какого-нибудь другого, заключать всегда, что всякий предмет, подпадающий под первое понятие, подпадает и под второе? Эти вопросы возникают у меня в результате сообщения господина Рассела. <...> Здесь речь идет не специально о моем способе обоснования арифметики, но вообще о возможности ее логического обоснования»50.

Если отвергнуть импликацию (Vb), чтобы избежать парадокса Рассела, тогда придется сделать вывод о том, что возможно существование равнообьемных понятий, которые применяются к разным объектам. Но это означало бы полный отказ от интерпретации объемов понятий как классов. Кроме того, как показал анализ этой проблемы, данное решение все равно не дает желаемых результатов51.

Трудность, с которой столкнулся Фреге, обусловлена отчасти его собственными семантическими идеями. Он считал, что мы живем в мире одних только объектов и понятий (относя к последним отношения и функции). Существует только одна модель для наших рассуждений — мир, в котором мы живем. Фреге принимает его за абсолютный универсум. Относительно каждого объекта а и произвольного понятия F, полагает Фреге, справедлив закон исключенного третьего: выражение Fa всегда либо истинно, либо ложно. Иными словами, любой объект в абсолютном универсуме должен считаться аргументом рассматриваемого понятия. Объект (конкретный или абстрактный) — любая вещь, обозначаемая единичным (собственным) именем. Наоборот, понятие — любая вещь, обозначаемая общим именем. Когда посредством единичного термина необходимо обозначить объект, то это можнр сделать, лишь указав условия его равенства и тем самым неравенства с другими объектами. Поскольку существует только одно множество объектов, которые можно сравнивать друг с другом, то отношение равенства, а и связанная с его применением операция квантифицирования, также является универсальным, относящимся ко всем объектам универсума. Например, универсально квантифицированное выражение «для всех чисел п истинно F» должно расшифровываться как «для всех объектов абсолютного универсума х, если х есть число, тогда истинно Fx». Неограниченная квантификация и стала семантической причиной парадоксальности аксиомы (V). В последнее время появились свидетельства, что самые важные результаты Фреге, связанные с выводом аксиом Пеано, с помощью которых доказываются все теоремы арифметики, независимы от аксиомы (V)52. Как оказалось, для их доказательства достаточно так называемого принципа Юма (число вещей, выполняющих понятие F, равно числу вещей, выполняющих понятие G, если и только если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие), принимаемого также и Фреге, а этот принцип непротиворечив. Сказанное позволяет заключить о правильности направления, выбранного Фреге, и если бы не шок, испытанный им от сообщения Рассела, он, вне всякого сомнения, продолжил бы начатую работу в прежнем направлении и нашел бы правильное решение, как оказалось, вполне частной проблемы.