2. Две концепции логики

Вторая традиция восходит к Дж. Пеано и Г. Фреге, в работах которых главное место занимает концепция логики как основы для математики. Эта традиция имеет в качестве своих продолжателей

Рассела, Виттгенштейна, Венский Кружок, и пожалуй, самым стойким из современных ее сторонников является В. Куайн, который до конца жизни отрицал важность теории моделей. Основным положением этой традиции является убеждение, что метаязык невозможен, что нельзя выйти за пределы языка. Менее метафорично, это означает, что переинтерпретация языка невозможна, как невозможно выражение семантики языка в самом языке. Все, что можно сделать в логической теории, это опереться на синтаксические конструкции. Исходной целью этого направления была кодификация логики, лежащей в основе всего рационального дискурса. Такой универсальный язык должен быть применим во всех контекстах без снабжения в дальнейшем какой-либо интерпретацией.

Различие между двумя этими направлениями можно выразить следующим образом. Алгебраическое направление имело дело с алгебраическими структурами, а также с теми общими приемами и теоретизированием, которое было общим при изучении этих структур. Логистическое же направление (как часто его называют в связи с логицизмом Фреге и Рассела) имеет дело с универсальным теоретизированием, нерелятивизованным ни к какому контексту. Я. Хин- тикка увязывает эти две традиции с фундаментально различными представлениями о природе отношения языка и его логики к реальности. Первая традиция, продолженная Левенгеймом, Геделем и Тарским, рассматривает язык как исчисление. Этот термин призван высветить те особенности подхода к логике, при котором возможны различные переинтерпретации языка, использование концепции истины, концепции метаязыка, и многих интуитивных теоретико-модельных представлений в систематической логической теории, например, идеи Э. Бета и Я. Хинтикки представления формальных доказательств как неудавшихся попыток построить контрпример174. Вторую традицию Хинтикка охарактеризовал так: язык как универсальный медиум. Именно универсальность устанавливает демаркацию между логистическим подходом и теорией моделей.

В техническом плане это проявляется следующим образом. При логистическом подходе для представления предикатов, отношений и индивидных констант используется понятие, переменной. Индивидная область квантификации не ограничивается каким-либо специфическим образом, предикатные переменные охватывают область г

2. ДВЕ КОНЦЕПЦИИ ЛОГИКИ

всех свойств, и то же для отношений. Поскольку главными «действующими лицами» являются переменные, логические связки и кванторы, все конструируемое в таком словаре по определению логическое. При теоретико-модельном подходе вместо понятия переменной используется понятие схематической буквы. Этим буквам придается различная интерпретация в различных моделях в теоретико-модельной семантике. Некоторые языки имеют интерпретации одновременно на нескольких моделях. Как видно, в логистическом направлении область значений переменных охватывает все объекты, в то время как в алгебраическом направлении переменные пробегают над неспецифицированной, но фиксированной областью объектов.

Кроме различий в области квантификации, два направления различаются между собой и способом понимания этой концепции. Фреге и Пеано предложили такое понятие, которое практически совпадает с современным понятием квантора. В частности, универсальный квантор Фреге — это квантор V, но при этом не предполагается ограничений на область квантификации.

Следует упомянуть также, что ряд исследователей выделяют еще и третью концепцию логики, называя ее математической школой, к которой причисляют таких математиков, как Дедекинд и Гильберт13.

13 См.: Shapiro S. Foundations without Foundationalism. — P. 175.

k Цель этого направления состоит в том, чтобы аксиоматизировать различные ветви математики. В противоположность алгебраическому подходу, который осуществляет аксиоматизацию сразу для не» скольких систем, математический подход стремится осуществить аксиоматизацию конкретной области. Правда, надо оговориться, что Гильберт может быть причислен к любой из школ, что и делается различными исследователями. Больше того, этот математик является главным при аргументации в пользу выделения определенной концепции логики. (Например, для Хинтикки именно творчество Гильберта является образцом теоретико-модельного подхода к логике175).

Универсалистский подход более привлекателен для философов, поскольку он реализует многие из неявных представлений традиционной метафизики. В этом отношении уместно упоминание о тезисе Рассела, по которому метафизика многих философов в истории философии неявно определялась принятой ими логикой. Что касается понимания логики как исчисления, или теоретико-модельного подхода, то с точки зрения философов он в значительной степени является математической теорией. «Теория моделей есть математи* ческая теория. Она начинает с аксиом, которые в большинстве работ по теории моделей понимаются интуитивно, и которым придается точная форма. Таким образом, теория моделей может быть сформулирована как аксиоматическая математическая теория точно в таком же духе, как и теория групп или теория чисел. Когда она сформулирована таким образом, она может рассматриваться как отрасль аксиоматической теории множеств»176.

Однако взгляд на теорию моделей как чисто математическую теорию считается рядом исследователей результатом непонимания того, что собственно включено в теоретико-модельный подход177. Во- первых, каждая математическая теория развивает свою собственную теорию моделей. Во-вторых, именно результаты, скажем, в теории моделей модальной логики, теории моделей теории групп, теории моделей теории множеств являются вкладом в современную логику. Будр теория моделей только математической теорией, пришлось бы признага теорию моделей теории моделей, что выглядит неестественно. *

Хинтикка признает, что кое в чем Резник все-таки прав, поскольку теоретико-модельные аргументы опираются на теоретико- множественные предпосылки. Но это не делает теорию моделей частью теории множеств, потому что не существует такого множества аксиом теории множеств, которые были бы пригодны для всех теоретико-модельных построений. Что еще более важно, в то время как среди теоретиков в области теории множеств существуют значительные разногласия относительно того, какого рода все более сильные аксиомы теории множеств надо принимать, консенсус находится часто на пути теоретико-модельных рассмотрений.

Но все-таки, несмотря на такую аргументацию, остается еще след «посылки принцессы Маргарет». Не все философы готовы к тому, чтобы полностью математизированная теория заняла место того, что было прерогативой философских рассмотрений. Ранее мы уже упоминали случай, когда философы были в смятении от того, что все ключевые теоремы логики, которая по предположению имела дело с мышлением, оказались алгебраическими теоремами.