3. Логическое следование

Прежде всего отметим, что имеются два понятия следования: семантическое, или модальное, и дедуктивное. Семантическое по- нятие следования определяется таким образом: предложение Ф есть логическое следствие множества/"предложений, если невозможно, чтобы при истинности каждого члена Г было ложным Ф. Другими словами, Ф истинно при каждой интерпретации, при которой каждый член Г истинен. Обычно такое понятие следования полагается более интуитивным и используется в начальных курсах по логике (см., например, «канонический» текст С. Клини Математическая J логика, іде теория доказательств предваряется теорией моделей). Jj Дедуктивное понятие следования определяется следующим обра- 1 зом: Ф есть следствие Г, если имеется вывод Ф из посылок в Г. Тео- 3 рема полноты заключается в том, что предложение Ф первого по- 1 рядка есть теоретико-доказательное следствие множества .Гпредло- 1 жений первого порядка, если и только если, Ф есть теоретико-мо» Я дельное следствие Г. Таким образом, для языка первого порядка се- і мантическое следование совпадает по объему с дедуктивным. ||

Именно полнота логического исчисления, которая полагаете» й некоторым «идеалом», является причиной отождествления двух ПО*- I нятий логического следования. Между тем семантическая концепция следования призвана выразить смысл, в котором теоремы некоторой математической теории представляют теорию об определенном роде объектов, — скажем, теоремы арифметики — теорию о натуральных числах. Аксиомы теории должны при этом характеризовать ту область математических объектов, которая была целые формализации. Другими словами, интерпретация формальной теог рии должна быть намеренной, и, больше того, все интерпретаций J подобного рода должны быть изоморфными, поскольку они гово- 1 рят «об одном и том же». Только так гарантируется сохранение ис- ^ тины, которое является целью логического следования. Что касает- 'Ц ся дедуктивного понятия следования, то оно призвано прояснит*), в каком случае математики полагают тот или иной вывод «законным», и делается это за счет выявления посылок заключения.

Соотношение двух видов логического следования, согласно Дж. Коркорану179, таково: если Ф есть следствие Гъ семантическом смысле, то заключение Ф «уже логически неявно присутствует» в посыл*, ках. В определенном смысле заключение будет излишним, потому что при этом не получается новой информации. Это понятие резко контрастирует с дедуктивным, потому что есть возможность того? что Ф неявно содержится в Г, даже если дедукция Ф из /"невозможна. Предположим, что доказано, что Ф есть семантическое следствие Г, но доказательство включает в себя некоторое погружение структур Г в более богатую структуру. Такая ситуация вполне обычна для математики. В подобных случаях может быть показано, что теорема есть семантическое следствие соответствующих аксиом второго порядка, но не дедуктивное следствие. В типичном случае теорема есть дедуктивное следствие этих аксиом вместе с некоторыми фактами относительно фоновой теории. Пусть ? будут принципами фоновой теории, используемой для установления Ф. Тогда математик устанавливает (Г+Е)КФ,и это показывает, что Г \= Ф и, вероятно, что Ф не оправдано на основании только лишь Г. Вероятно даже, что Г И- Ф. Приведенный пример показывает, что различие двух концепций логического следования тесно связано с различием логики первого порядка и логики второго порядка.

Окончательно важность языка первого порядка в качестве орудия построения оснований математики стала ясна после доказательства Геделем в 1930 г. теоремы полноты для логики первого порядка. Полнота и в самом деле является в высшей мере желательным свойством формальной системы, в которой формулируются содержательные истины математики. Отсутствие этого свойства у языка второго порядка подорвало претензии этого языка на то, чтобы быть базисным языком оснований математики. Сегодня стандартный взгляд заключается в том, что основания математики представлены логикой первого порядка и теорией множеств. Этот взгляд, как уже было сказано, связан со многими философскими представлениями. Одно из них опять-таки связано со стратегией постепенного увеличения онтологической тяжести утверждений в математике Куайна; Логика первого порядка не имеет экзистенциальных утверждений^ а теория множеств постепенно вводит такие утверждения в математику. В Теории множеств и ее логике Куайн поначалу даже вводите виртуальные классы перед тем, как сделать подлинные экзистенциальные утверждения181.

Эти утверждения о существовании все более обширных множеств становятся все более далекими от стандартов оправдания экзистенциальных утверждений, так что сама куайновская стратегия разделения на «экзистенциальную часть» теории множеств и «неэкзистенциальную часть» логики первого порядка оказывается сомни-, тельной. Поэтому логика второго порядка с ее экзистенциальными утверждениями интенсиональных сущностей может оказаться не менее плодотворным основанием математики. К тому же появляются весьма интересные языки, которые не так-то легко классифицировать с точки зрения дихотомии «первый порядок / второй поря-г док». Так, «дружественная независимая логика», предложенная Я. Хинтиккой в качестве плодотворного орудия построения оснований математики, обладает выразительными возможностями логики второго порядка, представляя в то же время по сути своей логику первого порядка182.