20. Зрительное воображение

Математики широко различаются между собой по степени, в какой они обращаются к зрительному воображению при открытии и доказательстве теорем 77. Однако тот факт, что оно играет важную роль, кажется мне очевидным в силу нашего постоянного употребления слова «показать» (demonstrate, show) вместо «доказать» (prove).

Даже в абстрактной дискретной математике зрение помогает действиям с символами. Возьмем, например, нынешнюю популярность «погони за диаграммами» в алгебре (особенно в теории гомологий и категорий) 78. Как могли Декарт и Гильберт думать иначе? Возможно, на Декарта повлиял его блестящий успех в замене чертежей в эвклидовой геометрии алгеброй многочленов. Гильберт также находился под чарами декартовой геометрии; в своих работах по логике он не раз ссылается на то, что непротиворечивость аксиом Эвклида можно доказать аналитически, определяя абстрактно точки как пары или тройки чисел (х, у), (х, у, z). (Как это далеко от идей Гельмгольца об «основаниях» геометрии!) На Гильберта мог повлиять еще и его собственный успех в применении аксиомы выбора для неконструктивного доказательства алгебраических теорем. Во всяком случае, мнения Гильберта и Декарта односторонни. Это было ясно Адамару, заметившему [21, с. 87, пер. с. 83—84]: Но Декарт не доверяет этому вмешательству воображения и желает полностью исключить его из науки ... Недавно знаменитым математиком Гильбертом на совершенно другой основе была дана более строгая трактовка принципов геометрии, которые ... были освобождены от всякого обращения к интуиции. Логически всякое вмешательство геометрического смысла исключено. Так ли обстоит дело с психологической точки зрения? Конечно, нет ... Фигуры появляются на каждой странице (книги Гильберта). В предисловии к другой книге79 Гильберт сам подчеркивает, что «наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии». То же справедливо и для классического аксиоматического изложения проективной геометрии, несмотря на введение произвольных полей координат80. Многие современные алгебраические и дифференциальные геометры, с другой стороны, целиком примкнули к Гильберту. Они считают, что геометрия переросла реальное, трехмерное пространство /?3, в котором нам доводится жить, или даже наш пространственно-временной континуум №. Вместо того они хотят изучать общие свойства, справедливые для всех множеств (m-мерных многообразий) комплексных векторов решений х=(х\, ..., хп) произвольной системы п—т независимых полиномиальных уравнений. Ясным признаком их равнодушия к геометрии в каком-либо физическом смысле является отсутствие в их книгах рисунков реальных кривых или поверхностей. Было бы бесплодно спорить о достоинствах этих разных подходов к геометрии; я упоминаю их прежде всего для иллюстрации различий между математиками. Кажется интереснее вернуться к основному вопросу: в какой мере можно основать анализ на одной только логике?

<< | >>

↑

Источник: Биркгофф Г.. Математика и психология. 1977

Еще по теме 20. Зрительное воображение: