Задание 21 и 22. Построить таблицы истинности. Определить, является ли выражение логическим законом.

Теория:
Таблицы истинности.
А) Таблица истинности для отрицания: А -А И Л Л И Напомним: суждение считается истинным, если оно соответствует действительности. Например, «уголь черный» - истинное суждение.

Суждение А может быть истинным, или ложным. Если А - истинно, то отрицание А - ложно, и наоборот.
Для остальных операций составим общую таблицу истинности: А В АлВ АvВ АvВ А^В А=В И И И И Л И И И Л Л И И Л Л Л И Л И И И Л Л Л Л Л Л И И Запомнить эту таблицу легко, если понять как она заполняется:
А л В. «В корзине у Нелли лежат подберезовики и подосиновики». А - «В корзине у Нелли лежат подберезовики», В - «В корзине у Нелли лежат подосиновики». Тут может быть четыре варианта ситуаций. Рассмотрим эти ситуации - «смотрим в корзину». Первая ситуация: в корзине, действи-тельно, есть подберезовики. - А - И; и, действительно, есть подосиновики В - И. Значит, общее суждение (АлВ) будет истинным. Вторая ситуация: в корзине есть подберезовики, но нет подосиновиков. А - И, а В - Л. Значит, общее суждение, что лежат те и другие, - ложное. Третья ситуация аналогична второй. Четвертая ситуация: нет ни тех, ни других. Значит, общее суждение, что лежали те и другие - ложное.
А vВ. «В корзине у Нелли лежат подберезовики или подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А- И, В-И. Значит Аv В - истинно. 2) А-И, В-Л. Значит, Аv В (лежат подберезовики или подосиновики) - истинно. 3) А-Л, В-И. Значит, Аv В - тоже истинно. 4) А-Л, В-Л. Нет ни того, ни другого. Значит, АvВ - ложь.
А уВ. «В корзине у Нелли лежали либо подберезовики, либо подосиновики». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение в случае строгой дизъюнкции будет ложным. 2) А-И, В-Л. Аv В -истинно. 3) А-Л, В-И. Аv В -истинно. 4) А-Л, В-Л. Аv В - ложь.
А^В. «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается». Рассмотрим ситуации: 1) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), В - И (проводник нагревается). Общее суждение А^В будет истинным. 2) А-И (через проводник, действительно, проходит электрический ток), но В - Л (проводник не нагревается). Такая ситуация невоз-
можна, поэтому А^В - ложь.

3) А-Л, В-И: А^В - считается истинным, потому что проводник может нагреваться и по другим причинам. 4) А-Л, В-Л: А^В - истина.
А=В. «В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже нуля градусов по Цельсию». Обозначим: А - «Вода замерзает», В - «Температура ниже нуля градусов». Рассмотрим ситуации: 1) А-И, В-И. Общее суждение будет истинным. 2) А - И, В -Л: Вода замерзает, а температура не ниже нуля градусов. А = В - ложно. 3) А - Л, В - И: А = В - ложно. 4) А - Л, В - Л (вода не замерзает, температура не ниже нуля градусов): А = В - истинно.
Пример 1: Составить таблицу истинности для выражения: ((А^В) л—В)^-—А. Решение: Сначала определяем порядок выполнения операций. Ясно, что мы не можем выполнить конъюнкцию сразу, сначала нужно выполнить (А^В) [1]и —В [2]. После конъюнкции [3] вычисляем —А [4]. И затем вычисляем значения главного знака ^ [5]. Для выполнения каждой операции смотрим в таблицу истинности соответствующих операций. Третье действие - конъюнкция «(А^-В)л—В» [столбец 3] в первой строке интерпретаций принимает значение «Л», так как И [1]л Л [2] = Л. Порядок операций ^ 1 3 2 5 4 А В (А^В) л —В ^ —А И И И Л Л И Л И Л Л Л И И Л Л И И Л Л И И Л Л И И И И И В столбце 5 - главный знак выражения - импликация - принимает значение «истина» при любых интерпретациях А и В. Значит, данная формула является логическим законом.
Пример 2: Составить таблицу истинности для выражения ((А^В)л(ВvС))^(АvС). Определить, является ли выражение логическим законом.
Теория: Выражение принимающее значение «истина» при любых интерпретациях переменных, является логическим законом.
Решение: Так как в данном выражении три суждения - А, В и С, то в таблице необходимо рассмотреть 8 интерпретаций значений переменных. Порядок операций ^ 1 3 2 5 4 А В С ((А^В) л (В^)) ^ (А^) И И И И И И И И И И Л И И И И И И Л И Л Л И И И И Л Л Л Л Л И И Л И И И И И И И Л И Л И И И Л Л Л Л И И И И И И Л Л Л И Л Л И Л В главном знаке (столбец 5) выражение принимает значение «ложь» в шестой строке интерпретаций. Поэтому, данная формула не является логическим законом.

<< | >>

↑

Источник: Гомбоева Л.В.. Индивидуальные контрольные задания по логике с методическими указаниями по их решению. 2003

Еще по теме Задание 21 и 22. Построить таблицы истинности. Определить, является ли выражение логическим законом.: